7.Постройте график функции y = {-x^2-2x+3, если x >= -2, -x-1, если x < -2. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Для решения задачи построим график функции, заданной по частям, и проанализируем его пересечение с горизонтальной прямой $y=m$. 1. Анализ функции: - Для $x \ge -2$: график параболы $y = -x^2 - 2x + 3$. Вершина параболы: $x_0 = -b / (2a) = 2 / (-2) = -1$. $y(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$. Точка $( -1; 4 )$ — вершина. При $x = -2$: $y = -(-2)^2 - 2(-2) + 3 = -4 + 4 + 3 = 3$. Парабола ветвями вниз. - Для $x < -2$: график прямой $y = -x - 1$. При $x = -2$: $y = -(-2) - 1 = 1$. Так как $x < -2$, точка $(-2; 1)$ — «выколотая» (не включена). 2. Исследование пересечений с $y=m$: - При $m > 4$: общих точек нет. - При $m = 4$: одна общая точка (вершина параболы). - При $1 < m < 4$: прямая пересекает параболу в двух точках. - При $m = 1$: одна общая точка (точка пересечения параболы), так как для прямой $y = -x - 1$ значение $y$ при $x=-2$ равно 1, но точка выколота. - При $m < 1$: прямая пересекает параболу в одной точке и прямую в одной точке — итого две точки. Таким образом, две общие точки достигаются при $m \in (1; 4) \cup (-\infty; 1)$. Ответ: $m \in (-\infty; 1) \cup (1; 4)$.