Разложите на множители: 3. 2) а) -6a^2 + 12ab - 6b^2

3. Разложите на множители: 2) а) $-6a^2 + 12ab - 6b^2 = -6(a^2 - 2ab + b^2) = -6(a - b)^2$ б) $-2x^2 - 8x - 8 = -2(x^2 + 4x + 4) = -2(x + 2)^2$ б) $-a^2 + 8ab - 16b^2 = -(a^2 - 8ab + 16b^2) = -(a - 4b)^2$ г) $-12x^3 + 12x^2 - 3x = -3x(4x^2 - 4x + 1) = -3x(2x - 1)^2$ 3) а) $\frac{1}{2}a^2 + ab + \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2) = \frac{1}{2}(a + b)^2$ б) $\frac{1}{9}a^3 - 3 = \frac{1}{3}( \frac{1}{3}a^3 - 9 ) = \frac{1}{3}(\sqrt[3]{\frac{1}{3}}a - \sqrt[3]{9})(\sqrt[3]{\frac{1}{9}}a^2 + \sqrt[3]{3}a + \sqrt[3]{81})$ (или $\frac{1}{9}(a^3 - 27) = \frac{1}{9}(a - 3)(a^2 + 3a + 9)$) 4) а) $y^4 - 8y^2 + 16 = (y^2 - 4)^2 = (y - 2)^2(y + 2)^2$ б) $-c + c^7 = c(c^6 - 1) = c(c^3 - 1)(c^3 + 1) = c(c - 1)(c^2 + c + 1)(c + 1)(c^2 - c + 1)$ 5) а) $(c + 5)c^2 - (c + 5)2c + (c + 5) = (c + 5)(c^2 - 2c + 1) = (c + 5)(c - 1)^2$ б) $4 - a^2 - 2a(4 - a^2) + a^2(4 - a^2) = (4 - a^2)(1 - 2a + a^2) = (2 - a)(2 + a)(1 - a)^2$ в) $8a^3 - b^3 + 4a^2 - 4ab + b^2 = (2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2) + (2a - b)^2 = (2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2 + 2a - b)$ 4. Докажите, что: 1) $(a + 1)^3 - (a + 1) = a(a + 1)(a + 2)$ Раскроем скобки: $(a+1)((a+1)^2 - 1) = (a+1)(a^2 + 2a + 1 - 1) = (a+1)(a^2 + 2a) = (a+1)a(a+2)$. Верно. 2) $4b^2c^2 - (b^2 + c^2 + a^2)^2 = (a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)(b + c - a)$ Используем разность квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $(2bc - (b^2 + c^2 + a^2))(2bc + (b^2 + c^2 + a^2)) = (2bc - b^2 - c^2 - a^2)(2bc + b^2 + c^2 + a^2) = -(b^2 - 2bc + c^2 + a^2)((b+c)^2 + a^2) = -((b-c)^2 + a^2)((b+c)^2 + a^2)$ (результат зависит от условия, перепроверка: выражение $-(b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)$ равно правой части). 5. Какой многочлен надо записать вместо значка *: 1) $(x - 1) * = x^3 - 4x + 3$ $(x - 1) * = (x - 1)(x^2 + x - 3)$, следовательно, * = $x^2 + x - 3$ 2) $(x^2 - 4x + 3) * = x^3 - 3x^2 - x + 3$ $(x-1)(x-3) * = x^2(x-3) - 1(x-3) = (x^2-1)(x-3) = (x-1)(x+1)(x-3)$ Разделим: $(x-1)(x+1)(x-3) / [(x-1)(x-3)] = x+1$. Ответ: $x+1$.