14. При каких значениях параметра а уравнение (a+5)x^2 - 7x + 2 / (x-4) = 0 имеет единственное решение?

Для решения дробно-рационального уравнения необходимо, чтобы числитель был равен нулю, а знаменатель — не равен нулю. Уравнение: $\frac{(a+5)x^2 - 7x + 2}{x-4} = 0$. 1. Числитель: $(a+5)x^2 - 7x + 2 = 0$. 2. Знаменатель: $x - 4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$. Чтобы уравнение имело ровно одно решение, возможны следующие случаи: **Случай 1: Числитель — линейное уравнение.** Это происходит, если коэффициент при $x^2$ равен 0: $a+5 = 0 \implies a = -5$. Тогда уравнение принимает вид: $-7x + 2 = 0$, откуда $x = \frac{2}{7}$. Так как $\frac{2}{7} \neq 4$, это решение подходит. Значит, $a = -5$ — подходит. **Случай 2: Числитель — квадратное уравнение, имеющее ровно один корень, который не равен 4.** Квадратное уравнение $(a+5)x^2 - 7x + 2 = 0$ имеет один корень, если его дискриминант $D = 0$ (при условии $a+5 \neq 0$): $D = (-7)^2 - 4 \cdot (a+5) \cdot 2 = 49 - 8(a+5) = 49 - 8a - 40 = 9 - 8a$. $9 - 8a = 0 \implies a = \frac{9}{8} = 1{,}125$. Проверим корень при $a = 1{,}125$: $(1{,}125 + 5)x^2 - 7x + 2 = 6{,}125x^2 - 7x + 2 = 0$. $x = \frac{-(-7)}{2 \cdot 6{,}125} = \frac{7}{12{,}25} = \frac{7}{\frac{49}{4}} = \frac{28}{49} = \frac{4}{7}$. Так как $\frac{4}{7} \neq 4$, это решение также подходит. Значит, $a = 1{,}125$ — подходит. **Случай 3: Числитель — квадратное уравнение, имеющее два корня, один из которых равен 4.** Если один из корней равен 4, он «выкалывается» знаменателем, и остается единственный корень. Подставим $x = 4$ в числитель: $(a+5) \cdot 4^2 - 7 \cdot 4 + 2 = 0$ $16(a+5) - 28 + 2 = 0$ $16a + 80 - 26 = 0$ $16a + 54 = 0$ $16a = -54$ $a = -\frac{54}{16} = -\frac{27}{8} = -3{,}375$. При $a = -3{,}375$ уравнение $(a+5)x^2 - 7x + 2 = 0$ имеет корни $x_1 = 4$ и $x_2$ (по теореме Виета $x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{a+5}$): $4 \cdot x_2 = \frac{2}{-3{,}375 + 5} = \frac{2}{1{,}625} = \frac{2}{\frac{13}{8}} = \frac{16}{13}$. $x_2 = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$. Так как $x_2 \neq 4$, второе решение существует. Значит, $a = -3{,}375$ — подходит. **Ответ:** $a \in \{-5; -3{,}375; 1{,}125\}$.