Восемь богатырей вели бой со Змеем Горынычем. В каждой схватке погибала половина живых богатырей, но каждый богатырь в каждой схватке (даже если он погибал) срубал по голове у Змея. Во время передышек между схватками на каждые две живые головы появлялась третья. Так продолжалось до тех пор, пока в живых не остался один Илья Муромец, он — то и одолел проклятого. Сколько же было схваток и сколько голов у Змея было до начала схваток?

Давайте проследим ход битвы по шагам. 1. **Схватка 1:** - В начале: 8 богатырей. - Погибает половина (8 / 2 = 4). Остается 4 живых богатыря. - Каждый богатырь срубает по 1 голове. Значит, всего срублено 8 голов. - После передышки на каждые 2 живые головы появляется 3-я. У Змея стало 8 / 2 = 4 новые головы. 2. **Схватка 2:** - В начале: 4 богатыря. - Погибает половина (4 / 2 = 2). Остается 2 живых богатыря. - Каждый богатырь срубает по 1 голове (всего 4). Значит, всего срублено 4 головы. - После передышки на каждые 2 живые головы появляется 3-я. У Змея стало 4 / 2 = 2 новые головы. 3. **Схватка 3:** - В начале: 2 богатыря. - Погибает половина (2 / 2 = 1). Остается 1 живой богатырь. - Каждый богатырь срубает по 1 голове (всего 2). Значит, всего срублено 2 головы. - После передышки на каждые 2 живые головы (которых не осталось, так как 2 срубили) появляется 3-я? Стоп, давайте перепроверим логику голов: **Обратный ход (от конца к началу):** - Конец: остался 1 богатырь, у Змея 0 голов. - Перед 3-й схваткой: было 2 богатыря (один погиб), Змей имел 2 головы (потому что их срубили 2 богатыря, чтобы стало 0). - Перед 2-й схваткой: было 4 богатыря (два погибли), Змей имел 4 головы (потому что 2 срубили во 2-й схватке + 2 осталось на 3-ю). - Перед 1-й схваткой: было 8 богатырей (четыре погибли), Змей имел 8 голов (потому что 4 срубили в 1-й схватке + 4 осталось на 2-ю). Таким образом, всего было **3 схватки**, а у Змея Горыныча было **8 голов** до начала битвы.