MN = 36см. Найдите MP, PN. В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорда AC. Найдите ∠ABC, если ∠ACO = 52°.

Задача 25: В прямоугольном треугольнике $KMN$ (угол $K=90^\circ$) проведена высота $KP$ к гипотенузе. Известно $MN = 36$ см и $\angle M = 30^\circ$. 1. В треугольнике $KMN$ катет $KN$, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы: $KN = \frac{1}{2} MN = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18$ см. 2. Рассмотрим $\triangle KPN$. Угол $KPN = 90^\circ$. Угол $PKN = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Угол $PNK = 30^\circ$ (так как $\angle N = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ в $\triangle KMN$, но это не совсем верно, так как $\triangle KMN$ прямоугольный, значит $\angle N = 60^\circ$). 3. В $\triangle KMN$: $KN = 18$ см. В $\triangle KPM$ (прямоугольный): $KP$ — катет против $30^\circ$, равен половине гипотенузы $KM$. $KM = MN \cdot \cos 30^\circ$ (нельзя). Проще: В $\triangle KMN$ катет $KN = MN \cdot \sin 30^\circ = 36 \cdot 0,5 = 18$. Катет $KM = MN \cdot \sin 60^\circ = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$ (нельзя). Используем свойства: В $\triangle KPM$ (угол $P=90^\circ$, $\angle M = 30^\circ$): $KP = KM \cdot \sin 30^\circ = 0,5 KM$. $MP = KM \cdot \cos 30^\circ$. Поскольку $\triangle KPM \sim \triangle MNK$, то $MP / KM = KM / MN$. $KM^2 = MP \cdot MN$. Отношение катетов: $KN/KM = \tan 30^\circ = 1/\sqrt{3}$. $KN = KM / \sqrt{3}$. $MP = 36 - PN$. $PN = KN \cdot \sin 60^\circ$ (нет). Вернемся к простому: В $\triangle KMN$, $\angle K = 90^\circ$, $\angle M = 30^\circ$, $\angle N = 60^\circ$. $KN = MN \cdot \sin 30^\circ = 36 \cdot 0,5 = 18$ см. $KM = MN \cdot \sin 60^\circ = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} \approx 31,18$ см. В $\triangle KPM$ ($\angle P=90^\circ$): $MP = KM \cdot \cos 30^\circ = 18\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9 \cdot 3 = 27$ см. $PN = MN - MP = 36 - 27 = 9$ см. Ответ: $MP = 27$ см, $PN = 9$ см. Задача 26: Дано: окружность с центром $O$, диаметр $AB$, хорда $AC$. $\angle ACO = 52^\circ$. Найти $\angle ABC$. 1. Рассмотрим треугольник $AOC$. Стороны $OA$ и $OC$ — радиусы окружности, значит $OA = OC$, треугольник равнобедренный. 2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle OAC = \angle OCA = 52^\circ$. 3. Сумма углов треугольника $180^\circ$. Найдем угол $AOC$: $\angle AOC = 180^\circ - (52^\circ + 52^\circ) = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$. 4. Угол $AOC$ является центральным для дуги $AC$. Угол $ABC$ — вписанный, опирающийся на ту же дугу $AC$ (точнее, опирается на дугу $AC$, которая не содержит $B$, но здесь $A, C, B$ образуют треугольник). Угол $ABC$ вписанный, опирается на дугу $AC$. Но $A, O, B$ лежат на прямой (диаметр). $\angle ABC$ опирается на дугу $AC$. Его величина равна половине центрального угла $AOC$ только если $C$ на окружности. Так и есть. Стоп, $\angle ABC$ опирается на дугу $AC$. $\angle AOC$ — центральный для дуги $AC$. $ \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC$ — неверно, $ABC$ — вписанный, опирающийся на дугу $AC$. Да, верно. $ \angle ABC = 76^\circ / 2 = 38^\circ$. Ответ: $38^\circ$.