25. MN = 36см. Найдите MP, PN. 26. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорда АС. Найдите ∠ABC, если ∠ACO = 52°.

Решение задачи 25: Дан треугольник $\triangle NMK$ с углом $\angle K = 90^\circ$, в котором $KP \perp NM$ (высота к гипотенузе). Дано: $\angle M = 30^\circ$, $MN = 36$ см. 1. В треугольнике $\triangle NMK$: $\angle N = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Катет $NK$, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы: $NK = 36 / 2 = 18$ см. 2. Рассмотрим треугольник $\triangle KPM$ (прямоугольный, так как $KP \perp NM$). В нем $\angle M = 30^\circ$, гипотенуза $KM$ является катетом треугольника $\triangle NMK$. $KM = MN \cdot \cos(30^\circ) = 36 \cdot (\sqrt{3}/2) = 18\sqrt{3}$. 3. В треугольнике $\triangle KPM$: катет $MP = KM \cdot \cos(30^\circ) = 18\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3}/2) = 18 \cdot 3 / 2 = 27$ см. 4. $PN = MN - MP = 36 - 27 = 9$ см. Ответ: $MP = 27$ см, $PN = 9$ см. Решение задачи 26: Дана окружность с центром $O$, диаметр $AB$ и хорда $AC$. Дано: $\angle ACO = 52^\circ$. Найти $\angle ABC$. 1. Рассмотрим треугольник $\triangle AOC$. Стороны $OA$ и $OC$ — радиусы окружности, значит, $\triangle AOC$ равнобедренный. Углы при основании равны: $\angle OAC = \angle OCA = 52^\circ$. 2. Угол $\angle AOC = 180^\circ - (52^\circ + 52^\circ) = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$. 3. Угол $\angle AOC$ — центральный, он опирается на дугу $AC$. Угол $\angle ABC$ — вписанный, опирается на ту же дугу $AC$. 4. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: $\angle ABC = \angle AOC / 2 = 76^\circ / 2 = 38^\circ$. Ответ: $38^\circ$.