Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через два часа вслед за ним отправилась моторная лодка...

Дано: Расстояние $S = 108$ км. Скорость течения $v_t = 3$ км/ч. Плот проплыл $S_p = 51$ км. Скорость плота $v_p = v_t = 3$ км/ч. 1. Найдем время движения плота: $t_p = \frac{S_p}{v_p} = \frac{51}{3} = 17$ часов. 2. Лодка отправилась через 2 часа, значит, она была в пути: $t_l = t_p - 2 = 17 - 2 = 15$ часов. 3. Пусть $x$ — собственная скорость лодки (км/ч). Тогда скорость лодки по течению: $x + 3$. Скорость лодки против течения: $x - 3$. 4. Лодка проплыла путь АВ (по течению) и ВА (против течения). Время в пути лодки складывается из времени на путь туда и обратно: $\frac{108}{x + 3} + \frac{108}{x - 3} = 15$ 5. Решим уравнение: $\frac{108(x - 3) + 108(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = 15$ $\frac{108x - 324 + 108x + 324}{x^2 - 9} = 15$ $\frac{216x}{x^2 - 9} = 15$ $216x = 15(x^2 - 9)$ $216x = 15x^2 - 135$ $15x^2 - 216x - 135 = 0$ Разделим все уравнение на 3: $5x^2 - 72x - 45 = 0$ Находим дискриминант: $D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084 = 78^2$ $x_1 = \frac{72 + 78}{10} = \frac{150}{10} = 15$ $x_2 = \frac{72 - 78}{10} = -0.6$ (не подходит, скорость должна быть положительной) Ответ: 15 км/ч.