В параллелограмме ABCD известно, что AB = 7 см, AD = 12 см. Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E. Найдите отрезки BE и EC.

### Задача 20 Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AB=7$ см, $AD=12$ см. Биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$. Найти: $BE$ и $EC$. Решение: 1. Углы $\angle BAE$ и $\angle EAD$ равны, так как $AE$ — биссектриса. 2. $\angle EAD = \angle AEB$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AE$. 3. Значит, $\angle BAE = \angle AEB$, и треугольник $ABE$ — равнобедренный ($AB=BE=7$ см). 4. $BC = AD = 12$ см. Так как $BE=7$ см, то $EC = BC - BE = 12 - 7 = 5$ см. Ответ: $BE=7$ см, $EC=5$ см. ### Задача 21 Дано: Биссектриса угла $A$ делит $CD$ в отношении $1:3$ от вершины $C$. Периметр $P=84$ см. Найти: стороны параллелограмма. Решение: 1. Пусть $CE=x$, $ED=3x$. Тогда $CD=4x$. Так как $CD=AB$, то $AB=4x$. 2. Так как треугольник, образованный биссектрисой, равнобедренный, то $AD=DE=3x$. 3. Периметр $P = 2(AB+AD) = 2(4x+3x) = 14x = 84$. 4. $x=6$. Значит, стороны $4x=24$ см и $3x=18$ см. Ответ: 24 см и 18 см. ### Задача 22 Дано: $\angle A=60^\circ$, высота $BE$ делит $AD$ в отношении $3:8$ от вершины острого угла $A$. $P=68$ см. Найти: стороны. Решение: 1. Пусть $AE=3x$, $ED=8x$. Тогда $AD = 3x+8x = 11x$. 2. В прямоугольном треугольнике $ABE$: $\angle A=60^\circ$, значит $\angle ABE = 30^\circ$. Катет $AE$ против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы $AB$. Но здесь $AE$ против угла $60^\circ$, значит $AB = AE / \sin(60^\circ)$ или проще: $AB = 2AE \cdot \cos(60^\circ) / \dots$ Лучше: $AE = AB \cdot \cos(60^\circ) = AB \cdot 0,5$. Так как $AE=3x$, то $AB=6x$. 3. Периметр $P = 2(AB+AD) = 2(6x+11x) = 34x = 68$. $x=2$. 4. Стороны: $AB=6 \cdot 2=12$ см, $AD=11 \cdot 2=22$ см. Ответ: 12 см и 22 см. ### Задача 23 Дано: Два угла относятся как $1:5$. Найти: угол между высотами из острого угла. Решение: 1. Сумма соседних углов $180^\circ$. $x+5x=180^\circ$, $6x=180^\circ$, $x=30^\circ$. Углы $30^\circ$ и $150^\circ$. 2. Высоты из острого угла ($30^\circ$) образуют с его сторонами углы $90-30=60^\circ$ (внутри) и $90-30=60^\circ$ снаружи. Угол между высотами равен $180 - (90+90+30) = 180-210$ (неверно). В остром угле $30^\circ$ высоты опущены к сторонам. Угол между высотами равен $180-30=150^\circ$ (тупой) или $30^\circ$ (острый). Обычно спрашивают величину между высотами, она равна величине тупого угла параллелограмма $150^\circ$ или смежному с ним $30^\circ$. Ответ: $30^\circ$ или $150^\circ$. ### Задача 24 Дано: $BM=6$, $BK=9$, $\angle ADC=150^\circ$. Найти: периметр. Решение: 1. $\angle A = 180-150=30^\circ$. 2. В $\triangle ABM$ (прямоугольный, $\angle M=90$): $BM$ — катет против угла $30^\circ$, $AB = 2 \cdot BM = 12$ см. 3. В $\triangle ABK$ (прямоугольный, $\angle K=90$): $BK$ — катет против угла $A=30^\circ$, нет, $BK$ — высота к $CD$ (или $AD$). Если $BK$ высота к $CD$, то $BK$ — катет против $\angle D=150$, то есть $\angle KCD=30^\circ$ ? Нет, $AD=BC$, $CD=AB=12$. $BK$ — высота к $CD$. В $\triangle BKC$: $\angle C = 30^\circ$, $BK=9$, $BC = BK / \sin(30^\circ) = 9 / 0,5 = 18$. 4. $P = 2(12+18) = 60$ см. Ответ: 60 см.