Доказать, что четырехугольник являются параллелограммом.

Для доказательства того, что четырехугольник является параллелограммом, используются известные признаки параллелограмма. Приведем краткое обоснование для каждого случая: 4) $\angle TMA = \angle A$ (соответственные углы при прямых $TM, AC$ и секущей $TA$), следовательно $TM \parallel AC$. Если $TM=AC$, то четырехугольник — параллелограмм. 5) Так как $\angle FBH = \angle KLB$ (соответственные углы), то $FK \parallel HL$. Также $\angle F + \angle K = 180^\circ$ (сумма внутренних односторонних углов), что подтверждает $FH \parallel KL$. 6) $\angle MTS = \angle DST$ (накрест лежащие углы) $\implies TM \parallel DS$. Так как стороны $TM$ и $DS$ равны и параллельны, это параллелограмм. 7) Стороны $FB = DM$ и углы при них равны, что позволяет доказать равенство треугольников и параллельность сторон. 8) $\angle A + \angle M = 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ$. Сумма внутренних односторонних углов при прямых $AL, MK$ равна $180^\circ$, значит $AL \parallel MK$. 9) Противоположные стороны равны попарно: $PH = RQ = 5$ и $PQ = HR = 3$. По признаку равенства противоположных сторон — это параллелограмм. 10) Диагонали $BL$ и $FK$ точкой $O$ делятся пополам ($BO = OL$ и $FO = OK$), что является достаточным признаком параллелограмма. 11) $\angle KFQ = \angle RFP$ (вертикальные), треугольники равны по сторонам и углу, откуда следует равенство и параллельность сторон. 12) Диагонали $BD$ и $AC$ точкой $O$ делятся пополам ($AO = OC$ и $BO = OD$), следовательно, это параллелограмм.