Задание 2 (18 баллов). Из точки C, которая лежит вне окружности, проведена касательная CN и секущая CA, проходящая через центр окружности O. Найдите величину угла ACN, если градусная мера меньшей дуги AN равна 126°.

Для решения задачи воспользуемся следующими фактами: 1. Секущая $CA$ проходит через центр $O$, значит, $AC$ — диаметр окружности. 2. Угол между касательной $CN$ и хордой $AN$ равен половине градусной меры дуги, заключенной внутри этого угла (дуги $AN$). $\angle ANC = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AN = \frac{1}{2} \cdot 126^\circ = 63^\circ$. 3. Рассмотрим треугольник $\triangle ANC$. В нем $ON$ — радиус, проведенный в точку касания, следовательно, $ON \perp CN$ (угол $\triangle ONC = 90^\circ$). 4. Однако нам нужен угол $ACN$. В треугольнике $ONC$: $\angle NOC = 180^\circ - \angle AON$ (так как $A, O, C$ лежат на одной прямой). 5. Центральный угол $\angle AON$ равен дуге $AN$, то есть $126^\circ$. $\angle NOC = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ$. 6. Сумма углов в прямоугольном треугольнике $\triangle ONC$ (где $\angle ONC = 90^\circ$): $\angle OCN = 90^\circ - \angle NOC = 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ$. Так как $\angle ACN$ — это и есть угол $\angle OCN$, искомый угол равен $36^\circ$. Ответ: 36°.