Сравните углы треугольника АВС и выясните, может ли быть угол А тупым, если: а) АВ > ВС > АС; б) АВ = АС < ВС.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о соотношении между сторонами и углами треугольника: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против равных сторон лежат равные углы. Также важно помнить свойство: в треугольнике не может быть двух тупых углов, так как их сумма превысит $180^{\circ}$. **а) Дано: $AB > BC > AC$** 1. Против сторон $AB, BC, AC$ лежат углы $C, A, B$ соответственно. 2. Так как $AB$ — самая большая сторона, то угол $C$ — самый большой угол в треугольнике. 3. Угол $A$ лежит против стороны $BC$, а угол $B$ лежит против стороны $AC$ (самая маленькая сторона). 4. Сравнение углов: $\angle C > \angle A > \angle B$. 5. Может ли угол $A$ быть тупым? Если $\angle A > 90^{\circ}$, то и $\angle C > 90^{\circ}$ (так как он еще больше). Сумма двух углов уже больше $180^{\circ}$, что невозможно. **Ответ:** нет, угол $A$ не может быть тупым, так как в этом случае сумма двух углов превысит $180^{\circ}$. **б) Дано: $AB = AC < BC$** 1. Так как $AB = AC$, то треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$. 2. Углы при основании равны, значит $\angle B = \angle C$. 3. Против самой большой стороны $BC$ лежит самый большой угол $\angle A$. 4. В треугольнике может быть только один тупой угол. Если $\angle A$ — тупой (больше $90^{\circ}$), то оставшаяся сумма углов $\angle B + \angle C < 90^{\circ}$. Так как $\angle B = \angle C$, каждый из них будет меньше $45^{\circ}$. Это вполне возможно. **Ответ:** да, угол $A$ может быть тупым, так как он лежит против большей стороны.