а) Постройте график функции y = (x^3 + 3x^2) / (x + 3) (25 баллов). б) Определите промежутки возрастания, убывания функции, область определения, множество значений (10 баллов).

Question

Вопрос:

а) Постройте график функции y = (x^3 + 3x^2) / (x + 3) (25 баллов). б) Определите промежутки возрастания, убывания функции, область определения, множество значений (10 баллов).

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для начала упростим выражение функции: $y = \frac{x^3 + 3x^2}{x + 3} = \frac{x^2(x + 3)}{x + 3}$ При условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $x + 3 \neq 0$ или $x \neq -3$, мы можем сократить дробь: $y = x^2, x \neq -3$ График этой функции — это парабола $y = x^2$, у которой «выколота» точка с абсциссой $x = -3$. Найдем ординату этой точки: $y = (-3)^2 = 9$. Значит, точка $(-3; 9)$ исключена. а) График представляет собой параболу $y = x^2$ с выколотой точкой $(-3, 9)$. б) Анализ функции: - Область определения: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$. - Множество значений: так как $x \neq -3$, то $y \neq (-3)^2$, значит $y \neq 9$. Также $x^2 \geq 0$, но в точке $x = -3$ значение $9$ пропущено. Значит, множество значений: $E(y) = [0; 9) \cup (9; +\infty)$. - Промежутки возрастания и убывания: - Функция убывает на $(-\infty; -3)$ и $(-3; 0]$. - Функция возрастает на $[0; +\infty)$.

а) Постройте график функции y = (x^3 + 3x^2) / (x + 3) (25 баллов). б) Определите промежутки возрастания, убывания функции, область определения, множество значений (10 баллов).

Ответ ассистента

Другие решения