Решите неравенство: 2log_7(x/sqrt(2)) - log_7(x/(3-x)) <= log_7(7x^2 + 1/(2x) - 2,5).

Для решения неравенства сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными: 1) $\frac{x}{\sqrt{2}} > 0 \Rightarrow x > 0$ 2) $\frac{x}{3-x} > 0$. Так как $x > 0$, то $3-x > 0$, откуда $x < 3$. Таким образом, $0 < x < 3$. 3) $7x^2 + \frac{1}{2x} - 2,5 > 0$. Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $2\log_7\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) - \log_7\left(\frac{x}{3-x}\right) \leq \log_7\left(7x^2 + \frac{1}{2x} - 2,5\right)$ $\log_7\left(\frac{x^2}{2}\right) - \log_7\left(\frac{x}{3-x}\right) \leq \log_7\left(7x^2 + \frac{1}{2x} - 2,5\right)$ $\log_7\left(\frac{x^2}{2} : \frac{x}{3-x}\right) \leq \log_7\left(7x^2 + \frac{1}{2x} - 2,5\right)$ $\log_7\left(\frac{x^2}{2} \cdot \frac{3-x}{x}\right) \leq \log_7\left(7x^2 + \frac{1}{2x} - 2,5\right)$ $\log_7\left(\frac{x(3-x)}{2}\right) \leq \log_7\left(7x^2 + \frac{1}{2x} - 2,5\right)$ Так как основание логарифма $7 > 1$, знак неравенства сохраняется: $\frac{3x - x^2}{2} \leq 7x^2 + \frac{1}{2x} - 2,5$ Умножим обе части на $2x$ (так как по ОДЗ $x > 0$): $x(3x - x^2) \leq 14x^3 + 1 - 5x$ $3x^2 - x^3 \leq 14x^3 + 1 - 5x$ $15x^3 - 3x^2 - 5x + 1 \geq 0$ Разложим левую часть на множители методом группировки: $(15x^3 - 3x^2) - (5x - 1) \geq 0$ $3x^2(5x - 1) - 1(5x - 1) \geq 0$ $(3x^2 - 1)(5x - 1) \geq 0$ Находим корни: $x^2 = 1/3 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ $5x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1/5$ Критичные точки: $x_1 = -1/\sqrt{3} \approx -0,57$, $x_2 = 1/5 = 0,2$, $x_3 = 1/\sqrt{3} \approx 0,57$. С учетом ОДЗ $0 < x < 3$: На интервале $(0; 0,2]$ выражение отрицательно. На интервале $[0,2; 0,57]$ выражение положительно. На интервале $[0,57; 3)$ выражение положительно (проверка: при $x=1$ получаем $(3-1)(5-1) = 8 > 0$). Таким образом, решением неравенства является $x \in [0,2; 1/\sqrt{3}] \cup [1/\sqrt{3}; 3)$. Ответ: $x \in [0,2; 3)$.