Найдите наименьшее значение функции y = (x^2 + 49) / x на отрезке [1; 19].

### Решение задания №686 Функция $y = \frac{x^2 + 49}{x} = x + \frac{49}{x}$ на отрезке $[1; 19]$. 1. Найдем производную функции: $y' = 1 - \frac{49}{x^2}$. 2. Приравняем производную к нулю: $1 - \frac{49}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 49 \Rightarrow x = 7$ (так как $x > 0$, корень $x = -7$ не рассматриваем). 3. Проверим значения функции в критической точке $x=7$ и на концах отрезка: $y(7) = \frac{7^2 + 49}{7} = \frac{98}{7} = 14$ $y(1) = \frac{1^2 + 49}{1} = 50$ $y(19) = \frac{19^2 + 49}{19} = \frac{361 + 49}{19} = \frac{410}{19} \approx 21,58$ Наименьшее значение — 14. **Ответ: 14** ### Решение задания №16547 а) $49^{x-0,5} - 9 \cdot 7^{x-1} + 2 = 0$ 1. Преобразуем уравнение: $(7^2)^{x-0,5} - 9 \cdot 7^{x-1} + 2 = 0$ $7^{2x-1} - 9 \cdot 7^{x-1} + 2 = 0$ $7^{2x-1} - 9 \cdot 7^{x-1} + 2 = 0$ Разделим степени: $\frac{7^{2x}}{7} - 9 \cdot \frac{7^x}{7} + 2 = 0$ Умножим на 7: $7^{2x} - 9 \cdot 7^x + 14 = 0$ 2. Пусть $7^x = t$, где $t > 0$: $t^2 - 9t + 14 = 0$ По теореме Виета: $t_1 = 7, t_2 = 2$. 3. Вернемся к переменной $x$: $7^x = 7 \Rightarrow x = 1$ $7^x = 2 \Rightarrow x = \log_7 2$ б) Корни: $1$ и $\log_7 2$. Промежуток $(0,5; 1,5)$. $1$ входит в промежуток. $\log_7 2 < \log_7 7 = 1$. Также $\log_7 2 > \log_7 \sqrt{7} = 0,5$, так как $2 > \sqrt{7} \approx 2,64$ (неверно, $2 < 2,64$, значит $\log_7 2 < 0,5$). Проверим: $7^{0,5} = \sqrt{7} \approx 2,64$. Так как $2 < 2,64$, то $\log_7 2 < 0,5$. Значит, корень $\log_7 2$ не принадлежит промежутку $(0,5; 1,5)$. **Ответ: а) 1; $\log_7 2$; б) 1**