32. Найдите длину высоты равностороннего треугольника, если его сторона равна 5√3/3.

32. Формула высоты равностороннего треугольника: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, где $a$ — сторона. Подставим значение $a = \frac{5\sqrt{3}}{3}$: $h = \frac{\frac{5\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac{5}{2} = 2,5$. Ответ: 2,5. 33. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($∠C=90°$) высота $CH$ проведена к гипотенузе $AB$. 1. Рассмотрим треугольник $ACH$ (где $∠AHC = 90°$): $CH = AC \cdot \sin A$. 2. В треугольнике $ABC$: $AC = AB \cdot \cos A$. 3. $\sin A = 0,75 = \frac{3}{4}$, значит $\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (0,75)^2} = \sqrt{1 - 0,5625} = \sqrt{0,4375} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$. 4. Из подобия треугольников $ACH$ и $ABC$ или через свойства проекций: $BH = AB \cdot \sin^2 A$ (так как $BC = AB \cdot \sin A$, а $BH = BC \cdot \sin A$). 5. $BH = 80 \cdot (0,75)^2 = 80 \cdot 0,5625 = 45$. Ответ: 45.