С-3. СРАВНЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ

### Решение задачи 1 (Вариант А1) **а)** Дано: $\angle AOC = 120^\circ$. Луч $OB$ делит угол на два угла, $\angle AOB = 3 \cdot \angle BOC$. Пусть $\angle BOC = x$, тогда $\angle AOB = 3x$. Так как $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$, составим уравнение: $3x + x = 120^\circ$ $4x = 120^\circ$ $x = 30^\circ = \angle BOC$. Тогда $\angle AOB = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$. **Ответ:** $\angle AOB = 90^\circ$, $\angle BOC = 30^\circ$. **б)** Луч $OD$ — биссектриса угла $AOC$. Значит, $\angle AOD = \angle COD = \angle AOC / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$. Чтобы найти $\angle BOD$, нужно знать взаимное расположение лучей. Обычно $B$ лежит между $A$ и $D$ или $D$ между $A$ и $B$. Если $B$ лежит между $A$ и $D$, то $\angle BOD = \angle AOD - \angle AOB = 60^\circ - 90^\circ$ (невозможно, значит $B$ лежит между $D$ и $C$). Если $B$ лежит между $D$ и $C$, то $\angle BOD = \angle AOB - \angle AOD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. ### Решение задачи 1 (Вариант А2) **а)** Дано: $\angle AOC = 150^\circ$. $\angle AOB$ в 4 раза меньше $\angle BOC$, значит $\angle BOC = 4 \cdot \angle AOB$. Пусть $\angle AOB = x$, тогда $\angle BOC = 4x$. $x + 4x = 150^\circ$ $5x = 150^\circ$ $x = 30^\circ = \angle AOB$. Тогда $\angle BOC = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$. **Ответ:** $\angle AOB = 30^\circ$, $\angle BOC = 120^\circ$. **б)** Луч $OD$ — биссектриса $\angle AOC = 150^\circ / 2 = 75^\circ$. $\angle BOD = |\angle AOB - \angle AOD| = |30^\circ - 75^\circ| = 45^\circ$. ### Решение задачи 2 Дано: $\angle KOM = 90^\circ$, $OP$ — биссектриса $\angle LOM$. $\angle LOM = 2 \cdot \angle LOP = 2 \cdot \angle POM$. Пусть $\angle LOP = \angle POM = x$, тогда $\angle LOM = 2x$. **Случай 1:** $\angle POK = 70^\circ$. $\angle POK = \angle KOL + \angle LOP = \angle KOL + x = 70^\circ$. Так как $\angle KOM = \angle KOL + \angle LOM = \angle KOL + 2x = 90^\circ$, имеем систему: $\begin{cases} \angle KOL + x = 70^\circ \\ \angle KOL + 2x = 90^\circ \end{cases}$ Вычитаем из второго первое: $x = 20^\circ$. $\angle MOL = 2x = 40^\circ$. **Случай 2:** $\angle KOP = 50^\circ$. $\angle KOP = \angle KOL + \angle LOP = \angle KOL + x = 50^\circ$. Система: $\begin{cases} \angle KOL + x = 50^\circ \\ \angle KOL + 2x = 90^\circ \end{cases}$ Вычитаем из второго первое: $x = 40^\circ$. $\angle MOL = 2x = 80^\circ$.