Задание 12 № 500111 а) Решите уравнение sin2x + √3 sinx = 0.

### Решение Задания 12 № 500111 а) Решите уравнение $\sin 2x + \sqrt{3} \sin x = 0$. 1. Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $2\sin x \cos x + \sqrt{3} \sin x = 0$ 2. Вынесем $\sin x$ за скобки: $\sin x (2\cos x + \sqrt{3}) = 0$ 3. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $\sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $2\cos x + \sqrt{3} = 0 \implies \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}]$. 1. Отберем корни: - Для $x = \pi k$: при $k=3$, $x=3\pi$ (попадает в отрезок). - Для $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$: при $n=1$, $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} = 2\frac{5}{6}\pi$ (попадает в отрезок). - Для $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$: при $n=2$, $x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6} = 3\frac{1}{6}\pi$ (попадает в отрезок). **Ответ:** а) $\pi k, \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$; б) $\frac{17\pi}{6}; 3\pi; \frac{19\pi}{6}$. --- ### Решение Задания 12 № 509501 а) Решите уравнение $\sin 2x + \sqrt{2} \sin x = 2 \cos x + \sqrt{2}$. 1. Перегруппируем слагаемые: $(\sin 2x - 2\cos x) + (\sqrt{2} \sin x - \sqrt{2}) = 0$ $2\sin x \cos x - 2\cos x + \sqrt{2}(\sin x - 1) = 0$ $2\cos x (\sin x - 1) + \sqrt{2}(\sin x - 1) = 0$ $(\sin x - 1)(2\cos x + \sqrt{2}) = 0$ 2. Решаем уравнения: - $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ - $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi; \frac{5\pi}{2}]$. 1. Отберем корни: - Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$: при $k=1$, $x = \frac{5\pi}{2}$ (попадает в отрезок). - Для $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$: при $n=1$, $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} = 2,75\pi$ (не попадает, так как $2,75\pi > 2,5\pi$). - Для $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$: при $n=1$, $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4} = 1,25\pi$ (попадает в отрезок). **Ответ:** а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$; б) $\frac{5\pi}{4}; \frac{5\pi}{2}$.