6. Один из корней данного квадратного уравнения равен -2. Найдите коэффициент k и другой корень уравнения:

Для решения воспользуемся тем, что если $x_1 = -2$ является корнем уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, то при подстановке $-2$ вместо $x$ мы получим верное равенство. Найдя $k$, мы сможем найти второй корень $x_2$ с помощью теоремы Виета. ### 1) а) $x^2 + 5x + k = 0$ 1. Подставим $x = -2$ в уравнение: $(-2)^2 + 5(-2) + k = 0 \Rightarrow 4 - 10 + k = 0 \Rightarrow -6 + k = 0 \Rightarrow k = 6$. 2. Уравнение имеет вид: $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета $x_1 \cdot x_2 = 6$. Так как $x_1 = -2$, то $-2 \cdot x_2 = 6$, откуда $x_2 = -3$. **Ответ: $k=6$, второй корень $-3$.** ### 1) б) $x^2 + kx - 16 = 0$ 1. Подставим $x = -2$ в уравнение: $(-2)^2 + k(-2) - 16 = 0 \Rightarrow 4 - 2k - 16 = 0 \Rightarrow -2k = 12 \Rightarrow k = -6$. 2. Уравнение имеет вид: $x^2 - 6x - 16 = 0$. По теореме Виета $x_1 \cdot x_2 = -16$. Так как $x_1 = -2$, то $-2 \cdot x_2 = -16$, откуда $x_2 = 8$. **Ответ: $k=-6$, второй корень $8$.** ### 2) а) $5x^2 - 7x + k = 0$ 1. Подставим $x = -2$ в уравнение: $5(-2)^2 - 7(-2) + k = 0 \Rightarrow 5(4) + 14 + k = 0 \Rightarrow 20 + 14 + k = 0 \Rightarrow 34 + k = 0 \Rightarrow k = -34$. 2. Уравнение имеет вид: $5x^2 - 7x - 34 = 0$. По теореме Виета $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{34}{5} = -6,8$. Так как $x_1 = -2$, то $-2 \cdot x_2 = -6,8$, откуда $x_2 = 3,4$. **Ответ: $k=-34$, второй корень $3,4$.** ### 2) б) $3x^2 + kx + 10 = 0$ 1. Подставим $x = -2$ в уравнение: $3(-2)^2 + k(-2) + 10 = 0 \Rightarrow 3(4) - 2k + 10 = 0 \Rightarrow 12 - 2k + 10 = 0 \Rightarrow 22 - 2k = 0 \Rightarrow 2k = 22 \Rightarrow k = 11$. 2. Уравнение имеет вид: $3x^2 + 11x + 10 = 0$. По теореме Виета $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{10}{3}$. Так как $x_1 = -2$, то $-2 \cdot x_2 = \frac{10}{3}$, откуда $x_2 = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$. **Ответ: $k=11$, второй корень $-1\frac{2}{3}$.**