7) [изображение окружности с двумя касательными из одной точки, угол между которыми 60 градусов, расстояние до точки касания 8, радиус x]

Для решения задачи рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом окружности (проведенным в точку касания), отрезком от центра до внешней точки и самим отрезком касательной. 1. Обозначим центр окружности $O$, внешнюю точку $A$, точку касания $T$. Радиус $OT = x$. 2. Линия, соединяющая внешнюю точку с центром, делит угол между касательными пополам. Значит, угол $\angle OAT = 60^\circ / 2 = 30^\circ$. 3. В прямоугольном треугольнике $OTA$ (где $\angle OTA = 90^\circ$ как угол между радиусом и касательной) сторона $OT$ является катетом, противолежащим углу $30^\circ$, а отрезок $OA$ — гипотенуза. 4. Из рисунка видно, что расстояние от точки касания до внешней точки равно 8. Значит, $AT = 8$. 5. Используем определение тангенса: $\tan(30^\circ) = \frac{OT}{AT} = \frac{x}{8}$. 6. Так как $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем уравнение: $\frac{x}{8} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. 7. Отсюда $x = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \approx 4,62$. **Ответ:** $\frac{8\sqrt{3}}{3}$