28.8. a) sin 5x + 2 sin 6x + sin 7x; 6) 2 cos x + cos 2x + cos 4x. 28.9. a) sin t + sin 2t + sin 3t + sin 4t; 6) cos 2t - cos 4t - cos 6t - cos 8t.

### Решение заданий 28.8 и 28.9 **28.8 a)** $\sin 5x + 2 \sin 6x + \sin 7x$ Группируем слагаемые: $(\sin 7x + \sin 5x) + 2 \sin 6x$ Применяем формулу суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$: $2 \sin 6x \cos x + 2 \sin 6x$ Выносим общий множитель $2 \sin 6x$: $2 \sin 6x (\cos x + 1)$ Так как $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$, получаем: $2 \sin 6x \cdot 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 4 \sin 6x \cos^2 \frac{x}{2}$ **28.8 б)** $2 \cos x + \cos 2x + \cos 4x$ Группируем: $2 \cos x + (\cos 4x + \cos 2x)$ Применяем формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$: $2 \cos x + 2 \cos 3x \cos x$ Выносим $2 \cos x$: $2 \cos x (1 + \cos 3x)$ Применяем формулу $1 + \cos 3x = 2 \cos^2 \frac{3x}{2}$: $2 \cos x \cdot 2 \cos^2 \frac{3x}{2} = 4 \cos x \cos^2 \frac{3x}{2}$ **28.9 a)** $\sin t + \sin 2t + \sin 3t + \sin 4t$ Группируем $(\sin 4t + \sin t)$ и $(\sin 3t + \sin 2t)$: $2 \sin \frac{5t}{2} \cos \frac{3t}{2} + 2 \sin \frac{5t}{2} \cos \frac{t}{2}$ Выносим $2 \sin \frac{5t}{2}$: $2 \sin \frac{5t}{2} (\cos \frac{3t}{2} + \cos \frac{t}{2})$ Применяем формулу суммы косинусов: $2 \sin \frac{5t}{2} \cdot (2 \cos \frac{\frac{3t}{2} + \frac{t}{2}}{2} \cos \frac{\frac{3t}{2} - \frac{t}{2}}{2}) = 2 \sin \frac{5t}{2} \cdot 2 \cos t \cos \frac{t}{2} = 4 \sin \frac{5t}{2} \cos t \cos \frac{t}{2}$ **28.9 б)** $\cos 2t - \cos 4t - \cos 6t - \cos 8t$ Группируем $(\cos 2t - \cos 8t) - (\cos 4t + \cos 6t)$: Применяем формулы: $\cos 2t - \cos 8t = -2 \sin \frac{10t}{2} \sin \frac{-6t}{2} = 2 \sin 5t \sin 3t$ $\cos 4t + \cos 6t = 2 \cos 5t \cos t$ Получаем: $2 \sin 5t \sin 3t - 2 \cos 5t \cos t = 2 (\sin 5t \sin 3t - \cos 5t \cos t)$