Найти все значения a, при каждом из которых уравнение x^2 + (7 - a)^2 = |x + a - 7| + |x - a + 7| имеет единстве...

### Вопрос 10 Уравнение: $x^2 + (7 - a)^2 = |x + a - 7| + |x - a + 7|$. Заметим, что $(7 - a)^2 = (a - 7)^2$. Пусть $k = a - 7$, тогда $|x + a - 7| = |x + k|$ и $|x - a + 7| = |x - k|$. Уравнение принимает вид: $x^2 + k^2 = |x + k| + |x - k|$. Заметим симметрию: если $x$ — корень, то и $-x$ — корень (так как $(-x)^2 = x^2$, а модули при замене $x$ на $-x$ просто меняются местами). Единственный корень возможен только при $x = 0$. Подставим $x = 0$: $0^2 + k^2 = |0 + k| + |0 - k| k^2 = |k| + |k| k^2 = 2|k|$ $|k|^2 - 2|k| = 0 |k|(|k| - 2) = 0$. Отсюда $|k| = 0$ или $|k| = 2$. 1) $|k| = 0 \Rightarrow k = 0 \Rightarrow a - 7 = 0 \Rightarrow a = 7$. Проверка для $a = 7$: $x^2 + 0 = |x| + |x| \Rightarrow x^2 = 2|x| \Rightarrow |x|^2 - 2|x| = 0 \Rightarrow |x|(|x| - 2) = 0$. Корни: $x=0, x=2, x=-2$ (не подходит, нужно единственное решение). 2) $|k| = 2 \Rightarrow k = 2$ или $k = -2$. Если $k = 2$, то $a - 7 = 2 \Rightarrow a = 9$. Уравнение: $x^2 + 4 = |x + 2| + |x - 2|$. Графически: парабола $y = x^2 + 4$ и функция $g(x) = |x + 2| + |x - 2|$. Для $x \in [-2; 2]$ $g(x) = x + 2 - x + 2 = 4$. При $x > 2$ $g(x) = 2x$, при $x < -2$ $g(x) = -2x$. Парабола $x^2 + 4$ касается горизонтальной линии $y=4$ в точке $x=0$. Это и есть единственный корень. Аналогично для $k = -2$, $a - 7 = -2 \Rightarrow a = 5$. **Ответ: 5, 9** ### Вопрос 11 Вершины $A(2; -3), B(0; 1), C(4; -2)$. 1. Найдем уравнение прямой $AC$. Вектор $\vec{AC} = (4-2; -2 - (-3)) = (2; 1)$. Уравнение прямой через две точки: $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 3}{1} \Rightarrow x - 2 = 2y + 6 \Rightarrow x - 2y - 8 = 0$. 2. Высота $BD$ — это расстояние от точки $B(0; 1)$ до прямой $AC: x - 2y - 8 = 0$. $BD = \frac{|1 \cdot 0 - 2 \cdot 1 - 8|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-10|}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$. 3. Квадрат длины высоты: $(2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$. **Ответ: 20** ### Вопрос 12 1. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник. Пусть сторона треугольника $a$, высота конуса $H = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, радиус основания $R = \frac{a}{2}$. 2. Радиус вписанного шара $r$ в равносторонний треугольник равен $\frac{1}{3}H = \frac{a\sqrt{3}}{6}$. 3. Объем шара $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{32}{3} \Rightarrow r^3 = \frac{8}{\pi} \Rightarrow r = \frac{2}{\sqrt[3]{\pi}}$. 4. Так как $r = \frac{H}{3}$, то $H = 3r = \frac{6}{\sqrt[3]{\pi}}$. 5. Радиус конуса $R = \frac{H}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}\sqrt[3]{\pi}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt[3]{\pi}}$. 6. Объем конуса $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{12}{\pi^{2/3}}\right) \cdot \frac{6}{\pi^{1/3}} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{72}{\pi} = 24$. **Ответ: 24**