Найдите наименьшее значение функции y = 8 cos x + 30/pi x + 19 на отрезке [-2pi/3; 0].

Для нахождения наименьшего значения функции $y = 8 \cos x + \frac{30}{\pi} x + 19$ на отрезке $[-\frac{2\pi}{3}; 0]$ выполним следующие шаги: 1. Найдем производную функции: $y' = (8 \cos x + \frac{30}{\pi} x + 19)' = -8 \sin x + \frac{30}{\pi}$. 2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $-8 \sin x + \frac{30}{\pi} = 0$ $8 \sin x = \frac{30}{\pi}$ $\sin x = \frac{30}{8\pi} = \frac{15}{4\pi}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $4\pi \approx 12.56$. Значит, $\sin x = \frac{15}{12.56} > 1$. Уравнение $\sin x = \frac{15}{4\pi}$ не имеет действительных решений, так как $|\sin x| \le 1$ для любого $x$. 3. Так как производная $y'$ не обращается в ноль и, учитывая, что $\sin x$ на отрезке $[-\frac{2\pi}{3}; 0]$ принимает значения от $-\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866$ до $0$, производная $y' = -8 \sin x + \frac{30}{\pi}$ будет всегда положительной (минимум в точке $-\frac{2\pi}{3}$ равен $-8(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{30}{\pi} = 4\sqrt{3} + \frac{30}{\pi} > 0$). Значит, функция возрастает на всем отрезке. 4. Наименьшее значение достигается на левом конце отрезка $x = -\frac{2\pi}{3}$: $y(-\frac{2\pi}{3}) = 8 \cos(-\frac{2\pi}{3}) + \frac{30}{\pi} \cdot (-\frac{2\pi}{3}) + 19$ $y(-\frac{2\pi}{3}) = 8 \cdot (-0.5) - 20 + 19 = -4 - 20 + 19 = -5$. **Ответ: -5**