4.143. Точка F лежит на продолжении стороны BC параллелограмма ABCD за точку C. Отрезок AF пересекает диагональ BD в точке E и сторону CD в точке G. Известно, что отрезок AE на 1 см длиннее отрезка EG, а отрезок GF равен 3 см. Какую часть площади параллелограмма ABCD составляет площадь треугольника AED?

Пусть $AE = x+1$, $EG = x$, $GF = 3$. Тогда $AG = AE + EG = 2x+1$, а $AF = AG + GF = 2x+1+3 = 2x+4$. Рассмотрим подобные треугольники $\triangle ADG \sim \triangle FCG$ (по двум углам: $\angle GAD = \angle GFC$ накрест лежащие при $AD \parallel BC$, $\angle AGD = \angle FGC$ вертикальные). Из подобия следует: $\frac{AD}{CF} = \frac{AG}{GF} = \frac{DG}{GC}$. Пусть $AD = a$. Так как $AD=BC$, то $CF = FC$. Из подобия $\frac{a}{FC} = \frac{2x+1}{3}$, откуда $FC = \frac{3a}{2x+1}$. Рассмотрим подобные треугольники $\triangle AED \sim \triangle FEB$ (по двум углам: $\angle EAD = \angle EFB$ накрест лежащие, $\angle AED = \angle FEB$ вертикальные). Из подобия следует: $\frac{AE}{EF} = \frac{AD}{FB} = \frac{ED}{EB}$. Заметим, что $EF = EG + GF = x + 3$. Тогда $\frac{x+1}{x+3} = \frac{a}{FB}$. Значит, $FB = \frac{a(x+3)}{x+1}$. Так как $FB = BC + CF = a + CF$, то: $a + \frac{3a}{2x+1} = \frac{a(x+3)}{x+1}$ $1 + \frac{3}{2x+1} = \frac{x+3}{x+1}$ $\frac{2x+1+3}{2x+1} = \frac{x+3}{x+1}$ $\frac{2x+4}{2x+1} = \frac{x+3}{x+1}$ $(2x+4)(x+1) = (x+3)(2x+1)$ $2x^2 + 2x + 4x + 4 = 2x^2 + x + 6x + 3$ $6x + 4 = 7x + 3$ $x = 1$. Если $x=1$, то $AE = 2$, $EG = 1$, $EF = 4$. $AG = 3$, $GF = 3$. $\frac{AG}{GF} = 1$, значит $AD=FC$. Тогда $BC=AD=FC$, и $BF = 2BC = 2a$. Проверим коэффициент подобия $\triangle AED \sim \triangle FEB$: $\frac{AD}{FB} = \frac{a}{2a} = 0.5$. Тогда $ED = 0.5 EB$, то есть $ED = \frac{1}{3} BD$. Высота $h_E$ треугольника $AED$ из вершины $A$ относительно $AD$ равна $\frac{1}{3}$ высоты $h$ параллелограмма из $A$ к $CD$, но проще: площадь $\triangle AED = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_E$. Так как $ED = \frac{1}{3} BD$, отношение площадей $\frac{S_{\triangle AED}}{S_{\triangle ABD}} = \frac{ED}{BD} = \frac{1}{3}$. Поскольку $S_{\triangle ABD} = 0.5 S_{ABCD}$, то $S_{\triangle AED} = \frac{1}{3} \cdot 0.5 S_{ABCD} = \frac{1}{6} S_{ABCD}$. **Ответ:** $\frac{1}{6}$ площади параллелограмма.