Решите уравнение 2 cos 2x = 4 sin (π/2 + x) + 1.

Для решения данного уравнения воспользуемся формулами приведения и формулой двойного угла. 1. Используем формулу приведения для правой части: $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x$ Тогда уравнение принимает вид: $2\cos 2x = 4\cos x + 1$ 2. Используем формулу двойного угла для косинуса $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $2(2\cos^2 x - 1) = 4\cos x + 1$ $4\cos^2 x - 2 = 4\cos x + 1$ 3. Перенесем все члены в левую часть и приравняем к нулю: $4\cos^2 x - 4\cos x - 3 = 0$ 4. Введем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$: $4t^2 - 4t - 3 = 0$ Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 = 8^2$ $t_1 = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = 1.5$ (не подходит, так как $\cos x$ не может быть больше 1) $t_2 = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -0.5$ 5. Вернемся к замене: $\cos x = -0.5$ $x = \pm \arccos(-0.5) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x = \pm (\pi - \frac{\pi}{3}) + 2\pi n$ $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$