Найдите точку максимума функции y = x^2 + 12ln(x + 5) - 7.

Question

Вопрос:

Найдите точку максимума функции y = x^2 + 12ln(x + 5) - 7.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для нахождения точки максимума функции исследуем ее производную. 1. Найдем область определения функции: $x + 5 > 0$, следовательно $x > -5$. 2. Найдем производную функции: $y' = (x^2 + 12\ln(x + 5) - 7)' = 2x + \frac{12}{x + 5}$. 3. Приравняем производную к нулю: $2x + \frac{12}{x + 5} = 0$ $2x(x + 5) + 12 = 0$ $2x^2 + 10x + 12 = 0$ $x^2 + 5x + 6 = 0$. 4. Решим квадратное уравнение по теореме Виета или через дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$. $x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2$, $x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$. Оба числа входят в область определения $x > -5$. 5. Определим знаки производной на интервалах: - При $x = -2.5$: $y'(-2.5) = 2(-2.5) + \frac{12}{2.5} = -5 + 4.8 = -0.2 < 0$. - При $x = 0$: $y'(0) = 0 + 2.4 > 0$. - При $x = -4$: $y'(-4) = 2(-4) + \frac{12}{1} = -8 + 12 = 4 > 0$. Функция возрастает на $(-5; -3)$, убывает на $(-3; -2)$ и возрастает на $(-2; +\infty)$. Точка $x = -3$ является точкой максимума (смена знака с $+$ на $-$). Точка $x = -2$ является точкой минимума (смена знака с $-$ на $+$). **Ответ: -3**

Найдите точку максимума функции y = x^2 + 12ln(x + 5) - 7.

Ответ ассистента

Другие решения