1. Один лунный камень весит ровно как два аметиста. Два кристалла кварца тяжелее трёх лунных камней. Что тяжелее: один кристалл кварца или три аметиста?

### 1 Пусть $L$ — вес лунного камня, $A$ — аметиста, $K$ — кварца. 1) $L = 2A$ 2) $2K > 3L$ Подставим первое уравнение во второе: $2K > 3(2A) \Rightarrow 2K > 6A \Rightarrow K > 3A$. **Ответ:** Один кристалл кварца тяжелее. ### 2 Дано: $3L > 5T$ ($L$ — лунный, $T$ — топаз). Отсюда $L > \frac{5}{3}T \approx 1.66T$. Проверим утверждение $2L > 3T$: $2L > 2 \cdot (\frac{5}{3}T) = \frac{10}{3}T = 3.33T$. Так как $3.33T > 3T$, утверждение доказано. ### 3 $L > 2T$, $T > 3X$ ($X$ — хризолит), $X > 4J$ ($J$ — жемчужина), $J > 90$. Цепочка цен: $X > 4 \cdot 90 = 360$; $T > 3 \cdot 360 = 1080$; $L > 2 \cdot 1080 = 2160$. Так как кристалл стоит дороже 2160 монет, а предлагают 2000, обмен невыгоден. **Ответ:** Не стоит. ### 4 $2K + 3M > 100$ (1) $4K + 5M < 180$ (2) Умножим (1) на 2: $4K + 6M > 200$. Вычтем неравенство (2) из полученного: $(4K + 6M) - (4K + 5M) > 200 - 180 \Rightarrow M > 20$. Так как $M > 20$, подставим в (2): $4K + 5(20) < 180 \Rightarrow 4K < 80 \Rightarrow K < 20$. Так как $M > 20$, а $K < 20$, маффин дороже. **Ответ:** Маффин. ### 5 Дано: $B = 2S$ ($B$ — большой, $S$ — средний), $2L_o > 3B$ ($L_o$ — осколок лунного). $2L_o > 3(2S) \Rightarrow 2L_o > 6S \Rightarrow L_o > 3S$. Вопрос: могут ли $4S > L_o$? Так как $L_o$ может быть чуть больше $3S$ (например, $3.5S$), то $4S > 3.5S$ выполняется. **Ответ:** Могут. Пример: Средний кристалл = 10, Осколок лунного = 35. (2 осколка = 70 > 3 самоцвета = 60; 4 средних = 40 > 1 осколок = 35). ### 6 Пусть $x$ — цена набора. $10x > 1100 \Rightarrow x > 110$. $9x < 1000 \Rightarrow x < 111,11$. Так как цена — целое число, $x = 111$. **Ответ:** 111 рублей. ### 7 Всего 64 монеты. Юнга взял $Y$ монет, где $6,4 < Y < 9,14$. Значит $Y $ может быть 7, 8, 9. При распределении монет между 6 пиратами (Юнга, 4 пирата, Капитан) с условием, что у всех разное количество: При $Y=8$: 8, 9, 10, 11, 12, 14. Сумма: 64. Это удовлетворяет условиям. В этой иерархии (Капитан, Боцман, Пираты, Юнга) боцман обычно второй после капитана. **Ответ:** 12 монет.