20. Найдите все корни уравнения 8^x - 9 * 2^{x+1} + 2^{5-x} = 0, принадлежащее отрезку [log_5 2; log_5 20].

Решим уравнение $8^x - 9 \cdot 2^{x+1} + 2^{5-x} = 0$. 1. Представим все слагаемые как степени числа 2: $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$ $9 \cdot 2^{x+1} = 9 \cdot 2^x \cdot 2^1 = 18 \cdot 2^x$ $2^{5-x} = \frac{2^5}{2^x} = \frac{32}{2^x}$ Уравнение принимает вид: $2^{3x} - 18 \cdot 2^x + \frac{32}{2^x} = 0$ 2. Сделаем замену переменной $t = 2^x$, где $t > 0$: $t^3 - 18t + \frac{32}{t} = 0$ Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$): $t^4 - 18t^2 + 32 = 0$ 3. Это биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену $y = t^2$ ($y > 0$): $y^2 - 18y + 32 = 0$ Корни по теореме Виета: $y_1 = 16$, $y_2 = 2$. 4. Вернемся к переменной $t$: Если $t^2 = 16$, то $t = 4$ или $t = -4$ (не подходит, т.к. $t > 0$). Если $t^2 = 2$, то $t = \sqrt{2} = 2^{0.5}$ или $t = -\sqrt{2}$ (не подходит). 5. Вернемся к $x$: $2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x_1 = 2$ $2^x = 2^{0.5} \implies x_2 = 0.5$ 6. Проверим, принадлежат ли корни отрезку $[\log_5 2; \log_5 20]$. $ \log_5 2 \approx 0.43 \log_5 20 = \log_5(5 \cdot 4) = \log_5 5 + \log_5 4 = 1 + \log_5 4 \approx 1 + 0.86 = 1.86 $ Наш отрезок: $[0.43; 1.86]$. Корень $x = 0.5$ попадает в этот отрезок ($0.43 \le 0.5 \le 1.86$). Корень $x = 2$ не попадает в этот отрезок ($2 > 1.86$). Ответ: 0.5