Билет № 6. Решить иррациональное уравнение, вычислить выражение, найти производную функции.

1) Решение иррационального уравнения: $\sqrt{x-1} = x-3$ ОДЗ: $\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ x-3 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow x \ge 3$ Возведем обе части в квадрат: $x-1 = (x-3)^2$ $x-1 = x^2 - 6x + 9$ $x^2 - 7x + 10 = 0$ По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 7$ $x_1 \cdot x_2 = 10$ Корни: $x_1 = 5, x_2 = 2$. Учитывая ОДЗ ($x \ge 3$), корень $x=2$ является посторонним. **Ответ: 5** 2) Вычисление выражения: $2 \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{3} - \operatorname{ctg}^2 \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{3}$ Подставим значения: $2 \cdot (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ $2 \cdot 3 - 3 - \frac{1}{4} = 6 - 3 - 0,25 = 2,75$ **Ответ: 2,75** 3) Нахождение производной функции: $y = 5\sqrt{x} \cdot e^{-x}$ Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $u = 5\sqrt{x} = 5x^{1/2} \Rightarrow u' = 5 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{5}{2\sqrt{x}}$ $v = e^{-x} \Rightarrow v' = -e^{-x}$ $y' = \frac{5}{2\sqrt{x}} \cdot e^{-x} + 5\sqrt{x} \cdot (-e^{-x})$ Приведем к общему знаменателю: $y' = \frac{5e^{-x} - 10x \cdot e^{-x}}{2\sqrt{x}} = \frac{5e^{-x}(1-2x)}{2\sqrt{x}}$ **Ответ: $y' = \frac{5e^{-x}(1-2x)}{2\sqrt{x}}$**