Решите систему уравнений: { x^3y + 2x^2y^2 + xy^3 = 4, x + y + x^2y + y^2x = 4.

Давай решим систему уравнений: 1) $x^3y + 2x^2y^2 + xy^3 = 4$ 2) $x + y + x^2y + y^2x = 4$ **Шаг 1. Упростим уравнения.** В первом уравнении вынесем общий множитель $xy$ за скобки: $xy(x^2 + 2xy + y^2) = 4$ $xy(x + y)^2 = 4$ (1) Во втором уравнении сгруппируем слагаемые: $(x + y) + xy(x + y) = 4$ $(x + y)(1 + xy) = 4$ (2) **Шаг 2. Сделаем замену переменных.** Пусть $u = x + y$ и $v = xy$. Тогда система примет вид: 1) $v \cdot u^2 = 4 \Rightarrow v = \frac{4}{u^2}$ 2) $u(1 + v) = 4$ **Шаг 3. Решим полученную систему.** Подставим выражение для $v$ во второе уравнение: $u(1 + \frac{4}{u^2}) = 4$ $u + \frac{4}{u} = 4$ Умножим всё уравнение на $u$ (при $u \neq 0$): $u^2 - 4u + 4 = 0$ $(u - 2)^2 = 0$ Отсюда $u = 2$. Найдем $v$: $v = \frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$. **Шаг 4. Вернемся к $x$ и $y$.** Так как $u = x + y = 2$ и $v = xy = 1$, составим квадратное уравнение, корнями которого являются $x$ и $y$: $t^2 - ut + v = 0$ $t^2 - 2t + 1 = 0$ $(t - 1)^2 = 0$ $t = 1$. Значит, $x = 1$ и $y = 1$. **Ответ:** (1; 1).