x^3y + 2x^2y^2 + xy^3 = 4, x + y + x^2y + xy^2 = 4.

Давай решим систему уравнений: $$\begin{cases} x^3y + 2x^2y^2 + xy^3 = 4, \\ x + y + x^2y + xy^2 = 4. \end{cases}$$ 1. Преобразуем первое уравнение: Вынесем $xy$ за скобки: $xy(x^2 + 2xy + y^2) = 4$ Свернем выражение в скобках по формуле квадрата суммы: $xy(x + y)^2 = 4$ (1) 2. Преобразуем второе уравнение: Сгруппируем слагаемые: $(x + y) + xy(x + y) = 4$ Вынесем $(x + y)$ за скобки: $(x + y)(1 + xy) = 4$ (2) 3. Введем замену: пусть $u = x + y$ и $v = xy$. Тогда система примет вид: $$\begin{cases} v \cdot u^2 = 4 \\ u(1 + v) = 4 \end{cases}$$ Из первого уравнения выразим $v$: $v = \frac{4}{u^2}$ (где $u \neq 0$). Подставим во второе уравнение: $u(1 + \frac{4}{u^2}) = 4$ $u + \frac{4}{u} = 4$ Умножим всё на $u$: $u^2 - 4u + 4 = 0$ $(u - 2)^2 = 0 \implies u = 2$. 4. Найдем $v$: $v = \frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$. 5. Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$: $$\begin{cases} x + y = 2 \\ xy = 1 \end{cases}$$ По теореме Виета $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - 2t + 1 = 0$. $(t - 1)^2 = 0 \implies t = 1$. Значит, $x = 1$ и $y = 1$. **Ответ: (1; 1)**