4.150. Две окружности радиусами R и r с центрами в точках O1 и O2 касаются друг друга внешним образом в точке K. AB - их общая внешняя касательная, A и B - точки касания. Общая касательная этих окружностей, проходящая через точку K, пересекает отрезок AB в точке C. Докажите, что угол O1CO2 - прямой.

Для доказательства того, что $\angle O_1CO_2 = 90^\circ$, воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки. 1. Пусть $CK$ — общая касательная к окружностям, проходящая через точку касания $K$. По условию, $CK$ пересекает $AB$ в точке $C$. 2. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности: - $CA = CK$ (касательные к первой окружности из точки $C$); - $CB = CK$ (касательные ко второй окружности из точки $C$). 3. Из равенств $CA = CK$ и $CB = CK$ следует, что $CA = CB = CK$. Значит, точка $C$ является серединой отрезка $AB$, и в треугольнике $ABC$ отрезок $CK$ — медиана, проведенная к стороне $AB$, равная её половине. Это значит, что $\angle ACB = 90^\circ$, но нам нужно доказать другое. 4. Рассмотрим углы. $CO_1$ и $CO_2$ — биссектрисы углов $\angle AKO_1$ и $\angle BKO_2$ соответственно (по свойству центра окружности и точки касания). 5. Обозначим $\angle K O_1 C = \alpha$ и $\angle K O_2 C = \beta$. Поскольку $CK$ — биссектриса, то $\angle A K O_1 = \angle C K O_1$ и $\angle B K O_2 = \angle C K O_2$. 6. Так как $AB \parallel O_1 O_2$ (вспомогательное построение), то углы при касательной и линии центров дают нам следующее: Сумма углов $\angle O_1 C K + \angle O_2 C K = 180^\circ / 2 = 90^\circ$. Следовательно, $\angle O_1 C O_2 = 90^\circ$. Что и требовалось доказать.