В прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 вписана окружность с центром I. Найдите расстояние от точки I до медианы, проведённой к гипотенузе треугольника.

Question

Вопрос:

В прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 вписана окружность с центром I. Найдите расстояние от точки I до медианы, проведённой к гипотенузе треугольника.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть вершины прямоугольного треугольника будут $A(0, 4)$, $B(3, 0)$ и $C(0, 0)$. Гипотенуза $AB$ имеет длину $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. 1. Найдем радиус $r$ вписанной окружности: $r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{3 + 4 - 5}{2} = 1$. Центр вписанной окружности $I$ имеет координаты $(r, r)$, то есть $I(1, 1)$. 2. Найдем уравнение медианы $CM$, проведенной к гипотенузе $AB$: Середина гипотенузы $M$ имеет координаты $M\left(\frac{0+3}{2}, \frac{4+0}{2}\right) = (1.5, 2)$. Уравнение прямой, проходящей через $C(0, 0)$ и $M(1.5, 2)$: $y = \frac{2}{1.5}x = \frac{4}{3}x$, или $4x - 3y = 0$. 3. Найдем расстояние $d$ от точки $I(1, 1)$ до прямой $4x - 3y = 0$ по формуле: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|4(1) - 3(1)|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|4 - 3|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{1}{5} = 0.2$. **Ответ: 0.2**

В прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 вписана окружность с центром I. Найдите расстояние от точки I до медианы, проведённой к гипотенузе треугольника.

Ответ ассистента

Другие решения