В прямоугольном треугольнике ABC угол между биссектрисой CK и высотой CH, проведенными из вершины прямого угла C, равен 15°. AB = 12 см. Найдите сторону BC, если известно, что точка K лежит между A и H.

Дано: Треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$), $CK$ — биссектриса, $CH$ — высота, $\angle KCH = 15^\circ$, $AB = 12$ см. 1. Так как $CK$ — биссектриса угла $C$, то $\angle ACK = \angle KCB = 45^\circ$. 2. Известно, что $\angle KCH = 15^\circ$. Тогда: $\angle ACH = \angle ACK - \angle KCH = 45^\circ - 15^\circ = 30^\circ$. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ ($\angle AHC = 90^\circ$): В нем $\angle ACH = 30^\circ$, значит, $\angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. 4. Теперь рассмотрим основной треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$): $\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. 5. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы: $BC = AB \cdot \sin(A) = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$. Ответ: $6\sqrt{3}$ см.