1. Найдите производную функции: y = (3x^2 - 4x) / (x^3 + 2)

1. Производная дроби $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$: $y' = \frac{(6x-4)(x^3+2) - (3x^2-4x)(3x^2)}{(x^3+2)^2} = \frac{6x^4+12x-4x^3-8 - (9x^4-12x^3)}{(x^3+2)^2} = \frac{-3x^4+8x^3+12x-8}{(x^3+2)^2}$ 2. Скорость $v(t) = S'(t) = t^2 + t + 8$. Ускорение $a(t) = v'(t) = 2t + 1$. $v(4) = 4^2+4+8 = 28$ м/с. $a(4) = 2(4)+1 = 9$ м/с$^2$. 3. $y' = 2x + 6$. $2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3$. $y' < 0$ при $x < -3$ (убывает), $y' > 0$ при $x > -3$ (возрастает). 4. $z_1/z_2 = (18/6)(\cos(195^\circ-70^\circ) + j\sin(195^\circ-70^\circ)) = 3(\cos 125^\circ + j\sin 125^\circ)$. 5. а) $(10^{-17} \cdot 10^{10})^{-1} = (10^{-7})^{-1} = 10^7 = 10000000$. б) $\log_{49}35 - \log_{49}5 = \log_{49}(35/5) = \log_{49}7 = 0.5$. в) $4^3 \cdot 4^{\log_{16}9} + (1/36)^{\log_6 2} = 64 \cdot (16^{1/2})^{\log_{16}9} + (6^{-2})^{\log_6 2} = 64 \cdot 9^{1/2} + 6^{\log_6 2^{-2}} = 64 \cdot 3 + 1/4 = 192.25$. 6. а) $\sqrt{x-10}=5 \Rightarrow x-10=25 \Rightarrow x=35$. б) $7^{x+8}=49 \Rightarrow x+8=2 \Rightarrow x=-6$. в) $\log_2(2x+10)=4 \Rightarrow 2x+10=16 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3$. 7. а) $(1/3)^{x-2} \le (1/3)^4 \Rightarrow x-2 \ge 4 \Rightarrow x \ge 6$. б) $\log_2(3x-7)>3 \Rightarrow 3x-7>8 \Rightarrow 3x>15 \Rightarrow x>5$. 8. $\int (10x^4+8x^{-5}-5)dx = 2x^5 - 2x^{-4} - 5x + C = 2x^5 - \frac{2}{x^4} - 5x + C$. 9. $V = \pi R^2 h = \pi \cdot 12^2 \cdot 8 = 1152\pi \approx 3619.11$ см$^3$. $S = 2\pi R(R+h) = 2\pi \cdot 12(12+8) = 480\pi \approx 1507.96$ см$^2$. 10. Всего 100, бракованных 15, небракованных 85. $P = 85/100 = 0.85$. Дополнительная часть: 1. $y' = 4x^3-6x^2-24x$. $y'' = 12x^2-12x-24$. $12(x^2-x-2)=0 \Rightarrow x=-1, x=2$. 2. $y' = 8x+3$. В точке $x_0=3$ $y' = 27$, $y(3)=4(9)+3(3)-9=36$. Уравнение: $y-36=27(x-3) \Rightarrow y=27x-45$. 3. $\log_2((x-2)(x+1)) = 2 \Rightarrow (x-2)(x+1)=4 \Rightarrow x^2-x-2-4=0 \Rightarrow x^2-x-6=0 \Rightarrow x=3, x=-2$ (не подходит). 4. Замена $u=x^2+1, du=2xdx$. $\int_1^{\sqrt{3}} 16 u^{-5} du = 16 [u^{-4}/-4]_2^4 = -4(1/256 - 1/16) = -4(-15/256) = 15/64$. 5. Стороны $2x, 3x, 6x$. $d^2 = (2x)^2+(3x)^2+(6x)^2 = 49x^2$. $35^2 = 49x^2 \Rightarrow 1225=49x^2 \Rightarrow x^2=25 \Rightarrow x=5$. Стороны: 10, 15, 30. $S=2(150+450+300)=1800$. $V=10\cdot 15\cdot 30=4500$.