1. Периметр параллелограмма 60 см. Одна из его сторон на 6 см меньше другой. Найдите длины сторон параллелограмма.

### 1 Пусть одна сторона параллелограмма $x$ см, тогда вторая сторона $(x - 6)$ см. Периметр параллелограмма $P = 2(a + b)$. $2(x + x - 6) = 60$ $2x - 6 = 30$ $2x = 36$ $x = 18$ (см) — большая сторона. $18 - 6 = 12$ (см) — меньшая сторона. **Ответ:** 12 см и 18 см. ### 2 Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому треугольник $AOD$ (если $AD$ — меньшая сторона) — равнобедренный ($OA = OD$). Угол между диагоналями $\angle AOD = 80^\circ$ (или $100^\circ$). Так как $\angle AOD = 80^\circ$, то углы при основании $\angle OAD = \angle ODA = (180^\circ - 80^\circ) / 2 = 50^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABD$ угол между диагональю $BD$ и стороной $AD$ (меньшей) равен $\angle ADB = 50^\circ$. Если рассматривать угол $100^\circ$, то $(180-100)/2 = 40^\circ$. **Ответ:** 50° или 40°. ### 3 Пусть диагональ $AC$ является высотой $h$ к стороне $CD$. По условию, $AC = \frac{1}{2} CD$. В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет $AC$ лежит против угла $\angle ADC$. $\sin(\angle D) = AC / CD = 1/2$. Следовательно, $\angle D = 30^\circ$. Тогда $\angle C = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$ (как углы при одной стороне параллелограмма). Противоположные углы равны. **Ответ:** 30°, 150°, 30°, 150°. ### 4 В трапеции $ABCD$ диагональ $AC$ — биссектриса $\angle A$, значит $\angle BAC = \angle CAD$. Так как $BC \parallel AD$, то $\angle BCA = \angle CAD$. Значит, $\angle BAC = \angle BCA$, и треугольник $ABC$ равнобедренный: $AB = BC$. Так как $\angle D = 60^\circ$ и $AC \perp CD$, в прямоугольном треугольнике $ACD$ угол $\angle CAD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Угол $\angle A = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$. Трапеция равнобедренная, $AB = CD$. Обозначим $AB = BC = CD = x$. Тогда $AD = AB + BC + CD + AD = P = 35$, но нужно найти $AD$. В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет $CD = x$, гипотенуза $AD = CD / \sin(30^\circ) = 2x$. Периметр: $x + x + x + 2x = 35 \Rightarrow 5x = 35 \Rightarrow x = 7$. **Ответ:** 7 см.