Билет 9. 3) Задача. Определите центр тяжести сложной геометрической фигуры.

Для решения задачи разобьем фигуру на две простые части: нижний прямоугольник (1) и верхний треугольник (2). **1. Нижний прямоугольник (1):** Ширина $B = a + b + a = 20 + 60 + 20 = 100$ см. Высота $h_1 = 40$ см. Площадь $A_1 = B \cdot h_1 = 100 \cdot 40 = 4000$ см$^2$. Координаты центра тяжести ($x_1, y_1$): так как фигура симметрична относительно вертикальной оси, проходящей через центр, примем эту ось за ось $y$. Тогда $x_1 = 0$. Уровень $y_1$ находится посередине высоты $h_1$, то есть $y_1 = h_1 / 2 = 20$ см. **2. Верхний треугольник (2):** Основание треугольника $b = 60$ см. Высота треугольника $h_2 = 60$ см. Площадь $A_2 = 0.5 \cdot b \cdot h_2 = 0.5 \cdot 60 \cdot 60 = 1800$ см$^2$. Координаты центра тяжести ($x_2, y_2$): $x_2 = 0$ (из симметрии). Уровень $y_2$ отсчитывается от основания всей фигуры. Центр тяжести треугольника лежит на высоте $1/3$ от его основания, то есть от $h_1$. Таким образом: $y_2 = h_1 + (h_2 / 3) = 40 + (60 / 3) = 40 + 20 = 60$ см. **3. Общий центр тяжести ($x_c, y_c$):** $x_c = 0$ см (в силу симметрии). $y_c = \frac{A_1 \cdot y_1 + A_2 \cdot y_2}{A_1 + A_2} = \frac{4000 \cdot 20 + 1800 \cdot 60}{4000 + 1800} = \frac{80000 + 108000}{5800} = \frac{188000}{5800} \approx 32.41$ см. **Ответ:** Координаты центра тяжести: $C(0; 32.41)$ см.