Привет! Давай разберем задания из твоей контрольной работы.
### Обязательная часть
1. Найдите производную функции: $y = (2x^3 - x^2)(4x + 3)$
Применим правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$y' = (6x^2 - 2x)(4x + 3) + (2x^3 - x^2)(4) = 24x^3 + 18x^2 - 8x^2 - 6x + 8x^3 - 4x^2 = 32x^3 + 6x^2 - 6x$
2. Скорость — это производная от пути по времени: $v(t) = S'(t) = t^2 + t - 2$.
При $t = 5$: $v(5) = 5^2 + 5 - 2 = 25 + 5 - 2 = 28$.
Ускорение — это производная от скорости: $a(t) = v'(t) = 2t + 1$.
При $t = 5$: $a(5) = 2(5) + 1 = 11$.
3. Сложение комплексных чисел:
$z_1 + z_2 = (-3 + 9j) + (2 - 12j) = (-3 + 2) + (9 - 12)j = -1 - 3j$.
4. Найдите экстремумы $y = x^2 - 8x + 3$ на $[-1; 6]$:
Производная $y' = 2x - 8$. $2x - 8 = 0 \implies x = 4$.
$y(4) = 16 - 32 + 3 = -13$ (минимум).
На концах: $y(-1) = 1 + 8 + 3 = 12$; $y(6) = 36 - 48 + 3 = -9$.
Наибольшее значение: $12$, наименьшее: $-13$.
5. Вычислите:
а) $(10^7)^2 \cdot 100^{-8} = 10^{14} \cdot (10^2)^{-8} = 10^{14} \cdot 10^{-16} = 10^{-2} = 0,01$.
б) $\log_{12} 6 + \log_{12} 2 = \log_{12} (6 \cdot 2) = \log_{12} 12 = 1$.
в) $3^{2+\log_9 25} - (1/16)^{\log_4 3} = 3^2 \cdot 3^{\log_{3^2} 5^2} - (4^{-2})^{\log_4 3} = 9 \cdot 3^{\log_3 5} - (4^{\log_4 3})^{-2} = 9 \cdot 5 - 3^{-2} = 45 - 1/9 = 44 \frac{8}{9}$.
6. Простейшие уравнения:
а) $\sqrt[3]{x+8} = 2 \implies x+8 = 8 \implies x = 0$.
б) $3^{x-5} = 27 \implies 3^{x-5} = 3^3 \implies x-5 = 3 \implies x = 8$.
в) $\log_3(x-4) = 2 \implies x-4 = 3^2 = 9 \implies x = 13$.
7. Неравенства:
а) $(1/2)^{x-5} > 1/16 \implies (1/2)^{x-5} > (1/2)^4$. Основание < 1, знак меняется: $x-5 < 4 \implies x < 9$.
б) $\log_3(2x-10) \le 2 \implies 2x-10 \le 9$ и $2x-10 > 0$.
$2x \le 19 \implies x \le 9,5$; $2x > 10 \implies x > 5$. Ответ: $(5; 9,5]$.
8. Интеграл $\int (3x^2 - 6x - 1) dx = x^3 - 3x^2 - x + C$.
9. Прямоугольный параллелепипед (6, 4, 5):
$S_{полн} = 2(6 \cdot 4 + 6 \cdot 5 + 4 \cdot 5) = 2(24 + 30 + 20) = 2(74) = 148$.
$V = 6 \cdot 4 \cdot 5 = 120$.
10. Объем выборки (сумма $n_i$):
$N = 17 + 25 + 32 + 45 + 10 = 129$.
### Дополнительная часть
1. Исследование: $y = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 15$
$y' = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)$.
Критические точки: $x=1, x=2$.
$y(1) = 2-9+12+15 = 20$ (max); $y(2) = 16-36+24+15 = 19$ (min).
2. Касательная к $y = 3x^2 - 6x + 5$ в $x_0 = 2$:
$f(2) = 12 - 12 + 5 = 5$.
$f'(x) = 6x - 6 \implies f'(2) = 12 - 6 = 6$.
Уравнение: $y - 5 = 6(x-2) \implies y = 6x - 12 + 5 = 6x - 7$.
3. $\sqrt{2x+1} + \sqrt{2x-4} = 5$. Пусть $\sqrt{2x-4} = t \ge 0$, тогда $2x-4 = t^2 \implies 2x+1 = t^2+5$.
$\sqrt{t^2+5+4} + t = 5 \implies \sqrt{t^2+9} = 5-t$.
$t^2+9 = 25 - 10t + t^2 \implies 10t = 16 \implies t = 1,6$.
$\sqrt{2x-4} = 1,6 \implies 2x-4 = 2,56 \implies 2x = 6,56 \implies x = 3,28$.
4. $\int 9\sqrt{x^3+1} \cdot x^2 dx$. Замена $u = x^3+1, du = 3x^2 dx o 3du = 9x^2 dx$.
$\int 3\sqrt{u} du = 3 \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = 2(x^3+1)^{3/2} + C$.
5. Пирамида: $a = 12, h = 8$.
$V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} (12^2) \cdot 8 = 144 \cdot 8 / 3 = 48 \cdot 8 = 384$.
Апофема $l = \sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{64 + 36} = 10$.
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 144 + 2 \cdot 12 \cdot 10 = 144 + 240 = 384$.
