БИЛЕТ №14 Блок А 1. Вычислите: 3 sin п/6 * 2 cos п/3 + 4 tg п/4

Блок А 1. $3 \sin \frac{\pi}{6} \cdot 2 \cos \frac{\pi}{3} + 4 \text{tg} \frac{\pi}{4} = 3 \cdot 0,5 \cdot 2 \cdot 0,5 + 4 \cdot 1 = 1,5 + 4 = 5,5$. **Ответ: 5,5** 2. $\frac{243^{0,6} \cdot 81^{0,9}}{729^{0,4} \cdot 9^{0,1}} = \frac{(3^5)^{0,6} \cdot (3^4)^{0,9}}{(3^6)^{0,4} \cdot (3^2)^{0,1}} = \frac{3^3 \cdot 3^{3,6}}{3^{2,4} \cdot 3^{0,2}} = \frac{3^{6,6}}{3^{2,6}} = 3^4 = 81$. **Ответ: 81** 3. $\log_5 2 + \log_5 12,5 = \log_5 (2 \cdot 12,5) = \log_5 25 = 2$. **Ответ: 2** 4. $\frac{\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[4]{5}}{\sqrt[6]{5} \cdot \sqrt[2]{5}} = \frac{5^{1/3} \cdot 5^{1/4}}{5^{1/6} \cdot 5^{1/2}} = 5^{(1/3+1/4-1/6-1/2)} = 5^{(4/12+3/12-2/12-6/12)} = 5^{-1/12} = \frac{1}{\sqrt[12]{5}}$. **Ответ: $\frac{1}{\sqrt[12]{5}}$** 5. $(\frac{1}{4})^{x+1} = 64 \Rightarrow (2^{-2})^{x+1} = 2^6 \Rightarrow -2(x+1) = 6 \Rightarrow -2x - 2 = 6 \Rightarrow -2x = 8 \Rightarrow x = -4$. **Ответ: -4** 7. $\text{tg } 2x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow 2x = -\frac{\pi}{6} + \pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. **Ответ: $-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$** 8. $(\frac{1}{5})^{2x-3} \le 25 \Rightarrow (5^{-1})^{2x-3} \le 5^2 \Rightarrow -2x + 3 \le 2 \Rightarrow -2x \le -1 \Rightarrow x \ge 0,5$. **Ответ: $x \ge 0,5$** Блок Б 1. $\text{tg} (\frac{x}{3} + \frac{\pi}{10}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \frac{x}{3} + \frac{\pi}{10} = \frac{\pi}{6} + \pi k \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{10} + \pi k \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{5\pi - 3\pi}{30} + \pi k \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{\pi}{15} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{5} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$. **Ответ: $\frac{\pi}{5} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$** 2. $16^x - 4^{x+1} + 3 = 0 \Rightarrow (4^x)^2 - 4 \cdot 4^x + 3 = 0$. Пусть $t = 4^x, t > 0$. $t^2 - 4t + 3 = 0$. По теореме Виета $t_1 = 1, t_2 = 3$. $4^x = 1 \Rightarrow x = 0$. $4^x = 3 \Rightarrow x = \log_4 3$. **Ответ: 0; $\log_4 3$**