Билет 11. 1. Определение окружности. Центр, радиус, хорда, диаметр и дуга окружности.

### Билет 11 1. Определение окружности: - **Окружность** — это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от заданной точки (центра). - **Радиус** — отрезок, соединяющий центр с точкой на окружности. - **Хорда** — отрезок, соединяющий две точки окружности. - **Диаметр** — хорда, проходящая через центр окружности. - **Дуга** — часть окружности, ограниченная двумя точками. 2. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника: - Доказательство: Проведем медиану (она же биссектриса и высота) к основанию. Полученные два прямоугольных треугольника равны по гипотенузе и катету, следовательно, углы при основании равны. 3. Параллельность прямых: - Проверь углы. Если соответствующие углы или накрест лежащие углы при пересечении секущей равны, то прямые параллельны. На рисунке данные углы $40^\circ, 30^\circ, 160^\circ$ не образуют равных пар для признаков параллельности, поэтому прямые на чертеже, скорее всего, не параллельны. 4. Решение: - Пусть углы треугольника равны $4x$ и $7x$. - Третий угол смежен с внешним углом $121^\circ$, значит, он равен $180^\circ - 121^\circ = 59^\circ$. - Сумма углов треугольника: $4x + 7x + 59^\circ = 180^\circ$. - $11x = 121^\circ$, значит, $x = 11$. - Углы: $4 \cdot 11 = 44^\circ$ и $7 \cdot 11 = 77^\circ$. - **Ответ:** $44^\circ, 77^\circ, 59^\circ$. ### Билет 12 3. Решение: - В $\triangle BCD$ (прямоугольный): $\angle B = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$. - В $\triangle ABC$ (прямоугольный): $\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. - **Ответ:** $50^\circ$. 4. Доказательство: - Так как хорды $AB = AC$, то дуги $AB$ и $AC$ равны. - Углы $\angle BDA$ и $\angle CDA$ — вписанные углы, опирающиеся на дуги $AB$ и $AC$ соответственно. - Поскольку дуги равны, вписанные углы, опирающиеся на них, также равны. Следовательно, $DA$ — биссектриса $\angle BDC$.