БИЛЕТ №14 Блок А 1. Вычислите: 3 sin п/6 * 2 cos п/3 + 4 tg п/4

Привет! Давай разберем твой билет. ### Блок А 1. Вычислите: $3 \sin\frac{\pi}{6} \cdot 2 \cos\frac{\pi}{3} + 4 \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}$ Значения: $\sin\frac{\pi}{6} = 0,5$; $\cos\frac{\pi}{3} = 0,5$; $\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$. $3 \cdot 0,5 \cdot 2 \cdot 0,5 + 4 \cdot 1 = 1,5 + 4 = 5,5$. 2. Упростите: $\frac{243^{0,6} \cdot 81^{0,9}}{729^{0,4} \cdot 9^{0,1}}$ Представим через основание 3: $3^5=243$, $3^4=81$, $3^6=729$, $3^2=9$. $\frac{(3^5)^{0,6} \cdot (3^4)^{0,9}}{(3^6)^{0,4} \cdot (3^2)^{0,1}} = \frac{3^3 \cdot 3^{3,6}}{3^{2,4} \cdot 3^{0,2}} = \frac{3^{6,6}}{3^{2,6}} = 3^{6,6-2,6} = 3^4 = 81$. 3. Вычислите: $\log_5 2 + \log_5 12,5 = \log_5(2 \cdot 12,5) = \log_5 25 = 2$. 4. Вычислите: $\frac{\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[4]{5}}{\sqrt[6]{5} \cdot \sqrt[2]{5}} = \frac{5^{1/3} \cdot 5^{1/4}}{5^{1/6} \cdot 5^{1/2}} = 5^{(1/3+1/4-1/6-1/2)} = 5^{(4/12+3/12-2/12-6/12)} = 5^{-1/12} = \frac{1}{\sqrt[12]{5}}$. 5. Уравнение: $(\frac{1}{4})^{x+1} = 64$ $4^{-(x+1)} = 4^3 \Rightarrow -x-1 = 3 \Rightarrow x = -4$. 7. Уравнение: $\operatorname{tg} 2x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ $2x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. 8. Неравенство: $(\frac{1}{5})^{2x-3} \le 25$ $(\frac{1}{5})^{2x-3} \le (\frac{1}{5})^{-2}$ Так как основание $0 < 1/5 < 1$, знак неравенства меняем: $2x - 3 \ge -2 \Rightarrow 2x \ge 1 \Rightarrow x \ge 0,5$. ### Блок Б 1. Уравнение: $\operatorname{tg}(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{10}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\frac{x}{3} + \frac{\pi}{10} = \frac{\pi}{6} + \pi k$ $\frac{x}{3} = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{10} + \pi k = \frac{5\pi - 3\pi}{30} + \pi k = \frac{2\pi}{30} + \pi k = \frac{\pi}{15} + \pi k$ $x = \frac{\pi}{5} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2. Уравнение: $16^x - 4^{x+1} + 3 = 0$ $(4^2)^x - 4 \cdot 4^x + 3 = 0$ Пусть $4^x = t, t > 0$. Тогда $t^2 - 4t + 3 = 0$. Корни: $t_1 = 3$, $t_2 = 1$. $4^x = 3 \Rightarrow x = \log_4 3$ $4^x = 1 \Rightarrow x = 0$. Ответ: $0; \log_4 3$.