На стороне MN треугольника MNC лежат точки K и F на расстоянии 36 и 44 от вершины M соответственно. Найдите радиус окружности, проходящей через точки K и F и касающиеся луча MC, если cos ∠CMN = √44/12.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством касательной и секущей к окружности. Пусть $R$ — искомый радиус окружности, а $O$ — её центр. Окружность проходит через точки $K$ и $F$, лежащие на стороне $MN$, значит, отрезок $KF$ — это хорда окружности. Длина $KF = MF - MK = 44 - 36 = 8$. Пусть $X$ — точка касания окружности с лучом $MC$. Согласно теореме о касательной и секущей, квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей от вершины до точек пересечения с окружностью: $MX^2 = MK \cdot MF = 36 \cdot 44 = 1584$. $MX = \sqrt{1584} = \sqrt{144 \cdot 11} = 12\sqrt{11}$. Пусть $\alpha = \angle CMN$. Нам известно, что $\cos \alpha = \frac{\sqrt{44}}{12} = \frac{2\sqrt{11}}{12} = \frac{\sqrt{11}}{6}$. Тогда $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36}$, откуда $\sin \alpha = \frac{5}{6}$. Рассмотрим треугольник $MXO$, где $O$ — центр окружности. Поскольку $MX$ — касательная, радиус $OX \perp MC$, то есть $\angle MXO = 90^\circ$. В треугольнике $MXO$ угол $\angle XMO = \alpha$ (так как $MC$ и $MN$ образуют этот угол). Тогда в прямоугольном треугольнике $MXO$: $OX = MX \cdot \tan \alpha$. $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{5/6}{\sqrt{11}/6} = \frac{5}{\sqrt{11}}$. $R = OX = 12\sqrt{11} \cdot \frac{5}{\sqrt{11}} = 60$. Ответ: 60.