Вычислите: 4 sin(pi/6) * 3 cos(pi/3) - 2 tg(pi/4)

### Блок А 1. **Вычислите:** $4 \sin \frac{\pi}{6} \cdot 3 \cos \frac{\pi}{3} - 2 \text{tg} \frac{\pi}{4}$ Зная табличные значения $\sin \frac{\pi}{6} = 0,5$, $\cos \frac{\pi}{3} = 0,5$, $\text{tg} \frac{\pi}{4} = 1$, подставим их: $4 \cdot 0,5 \cdot 3 \cdot 0,5 - 2 \cdot 1 = 2 \cdot 1,5 - 2 = 3 - 2 = 1$. **Ответ: 1.** 2. **Упростите выражение:** $\frac{27^{0,5}}{9^{0,2} \cdot 3^{0,1}}$ Приведем все к основанию 3: $\frac{(3^3)^{0,5}}{(3^2)^{0,2} \cdot 3^{0,1}} = \frac{3^{1,5}}{3^{0,4} \cdot 3^{0,1}} = \frac{3^{1,5}}{3^{0,5}} = 3^{1,5 - 0,5} = 3^1 = 3$. **Ответ: 3.** 3. **Вычислите:** $\log_3 54 - \log_3 6$ Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$: $\log_3 \frac{54}{6} = \log_3 9 = 2$. **Ответ: 2.** 4. **Вычислите:** $\frac{\sqrt[4]{37} \cdot \sqrt[5]{37}}{\sqrt[10]{37} \cdot \sqrt[2]{37}}$ Перейдем к степеням с рациональным показателем: $\frac{37^{1/4} \cdot 37^{1/5}}{37^{1/10} \cdot 37^{1/2}} = \frac{37^{(5+4)/20}}{37^{(1+5)/10}} = \frac{37^{9/20}}{37^{6/10}} = \frac{37^{9/20}}{37^{12/20}} = 37^{9/20 - 12/20} = 37^{-3/20}$. **Ответ: $37^{-3/20}$ (или $\frac{1}{\sqrt[20]{37^3}}$).** 5. **Решите показательное уравнение:** $125^x = 25^{2x-1}$ Приведем к основанию 5: $(5^3)^x = (5^2)^{2x-1}$ $5^{3x} = 5^{4x-2}$ $3x = 4x - 2 \implies x = 2$. **Ответ: 2.** 7. **Решите тригонометрическое уравнение:** $\text{tg } x - 3 = 0$ $\text{tg } x = 3$ $x = \text{arctg } 3 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. **Ответ: $x = \text{arctg } 3 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.** 8. **Решите неравенство:** $(\frac{8}{27})^x \ge (\frac{9}{4})^1$ $(\frac{2}{3})^{3x} \ge (\frac{3}{2})^1$ $(\frac{2}{3})^{3x} \ge (\frac{2}{3})^{-1}$ Так как основание $2/3 < 1$, знак неравенства меняется: $3x \le -1 \implies x \le -1/3$. **Ответ: $x \in (-\infty; -1/3]$.** ### Блок Б 1. **Решите тригонометрическое уравнение:** $\text{tg} (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12}) = \sqrt{3}$ $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12} = \text{arctg } \sqrt{3} + \pi k$ $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \pi k$ $\frac{x}{2} = \frac{4\pi}{12} - \frac{\pi}{12} + \pi k$ $\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{12} + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k$ $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. **Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.** 2. **Решите показательное уравнение:** $2^{x+2} - 6 \cdot 2^{x+1} + 8 = 0$ $2^2 \cdot 2^x - 6 \cdot 2^1 \cdot 2^x + 8 = 0$ $4 \cdot 2^x - 12 \cdot 2^x + 8 = 0$ $-8 \cdot 2^x = -8$ $2^x = 1 \implies x = 0$. **Ответ: 0.** 3. **Решите тригонометрическое уравнение:** $\cos 7x \cdot \cos 3x + \sin 7x \cdot \sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$. $\cos(7x - 3x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos 4x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $4x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ $x = \pm \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. **Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.**