БИЛЕТ №25

### Блок А 1. Вычислите: $2 \sin \frac{\pi}{2} + 5 \text{tg} \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3} \cos \frac{\pi}{2}$ * $\sin \frac{\pi}{2} = 1$, $\text{tg} \frac{\pi}{4} = 1$, $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ * $2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 = 2 + 5 + 0 = 7$ **Ответ: 7** 2. Упростите: $\frac{100^{0,3} \cdot 10^{0,5}}{1000^{0,2}}$ * Приведем все к основанию 10: $(10^2)^{0,3} \cdot 10^{0,5} / (10^3)^{0,2} = 10^{0,6} \cdot 10^{0,5} / 10^{0,6} = 10^{0,5} = \sqrt{10}$ **Ответ: \sqrt{10}** 3. Вычислите: $\log_4 96 - \log_4 6$ * $\log_4 (96 / 6) = \log_4 16 = \log_4 (4^2) = 2$ **Ответ: 2** 4. Вычислите: $\frac{\sqrt[5]{43} \cdot \sqrt[3]{43}}{\sqrt[10]{43} \cdot \sqrt[3]{43}}$ * Сократим $\sqrt[3]{43}$: $\frac{\sqrt[5]{43}}{\sqrt[10]{43}} = \frac{43^{1/5}}{43^{1/10}} = 43^{1/5 - 1/10} = 43^{1/10} = \sqrt[10]{43}$ **Ответ: \sqrt[10]{43}** 5. $3^{2x-1} = 9^{x+2}$ * $3^{2x-1} = (3^2)^{x+2} \Rightarrow 3^{2x-1} = 3^{2x+4}$ * $2x - 1 = 2x + 4$ — решений нет, так как $-1 \neq 4$. **Ответ: Решений нет** 7. $\cos \frac{x}{2} = 1$ * $\frac{x}{2} = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ * $x = 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ: 4\pi n, n \in \mathbb{Z}** 8. $7^{-x} \geq \frac{1}{49}$ * $7^{-x} \geq 7^{-2}$ * Так как основание $7 > 1$, знак неравенства сохраняется: $-x \geq -2 \Rightarrow x \leq 2$ **Ответ: x \in (-\infty; 2]** ### Блок Б 1. $2 \cos(3x + \frac{\pi}{8}) = \sqrt{3}$ * $\cos(3x + \frac{\pi}{8}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ * $3x + \frac{\pi}{8} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ * $3x = -\frac{\pi}{8} \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ * $x = -\frac{\pi}{24} \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$ 2. $3^{2x+2} - 12 \cdot 3^{x+1} + 27 = 0$ * $9 \cdot 3^{2x} - 36 \cdot 3^x + 27 = 0$ (разделим на 9: $3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$) * Пусть $t = 3^x > 0$. Тогда $t^2 - 4t + 3 = 0$. Корни $t_1 = 1, t_2 = 3$. * $3^x = 1 \Rightarrow x = 0$; $3^x = 3 \Rightarrow x = 1$. **Ответ: 0; 1** 3. $\sin 6x \cdot \cos x + \cos 6x \cdot \sin x = 0$ * Применим формулу синуса суммы: $\sin(6x + x) = 0 \Rightarrow \sin 7x = 0$ * $7x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ: \frac{\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}**