7. Сторона квадрата ABCD равна 2 см. Отрезок AM перпендикулярен плоскости квадрата, ∠ ABM = 60°. Найдите расстояние от точки M до прямой BD

### Решение задачи 7 Дано: квадрат $ABCD$ со стороной $a = 2$ см. $AM \perp (ABCD)$, $\angle ABM = 60^\circ$. Найти расстояние от $M$ до $BD$. 1. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата. $BD$ — диагональ, ее длина $BD = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$. Расстояние $BO = \frac{1}{2}BD = \sqrt{2}$. 2. Из $\triangle ABM$ (прямоугольный, $\angle A = 90^\circ$): $AM = AB \cdot \tan 60^\circ = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$. 3. Пусть $H$ — проекция точки $A$ на прямую $BD$. В квадрате $ABCD$ диагонали перпендикулярны, значит $AO \perp BD$. Точка $H$ совпадает с $O$. $AO = \sqrt{2}$. 4. По теореме о трех перпендикулярах: так как $AM \perp (ABCD)$ и $AO \perp BD$, то $MO \perp BD$. Значит, $MO$ — искомое расстояние. 5. В прямоугольном $\triangle AMO$: $MO = \sqrt{AM^2 + AO^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{12 + 2} = \sqrt{14}$. **Ответ: $\sqrt{14}$ см.** ### Решение задачи 8 Дано: правильная четырехугольная пирамида. Высота $H = 10$ см. Угол между высотой и боковым ребром $\alpha = 45^\circ$. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром. Угол $45^\circ$ — это угол между высотой и ребром. 2. Поскольку $\triangle$ прямоугольный и один из острых углов $45^\circ$, то другой угол тоже $45^\circ$. Треугольник равнобедренный, значит, половина диагонали основания равна высоте: $\frac{d}{2} = H = 10$ см. 3. Вся диагональ основания $d = 20$ см. 4. Сторона основания $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}$. 5. Площадь основания $S = a^2 = (10\sqrt{2})^2 = 100 \cdot 2 = 200$ см$^2$. 6. Объем пирамиды $V = \frac{1}{3} S H = \frac{1}{3} \cdot 200 \cdot 10 = \frac{2000}{3} = 666\frac{2}{3}$ см$^3$. **Ответ: $666\frac{2}{3}$ см$^3$.** ### Решение задачи 9 $10^x - 8 \cdot 5^x \geq 0$ 1. Преобразуем: $(2 \cdot 5)^x - 8 \cdot 5^x \geq 0 \implies 2^x \cdot 5^x - 8 \cdot 5^x \geq 0$. 2. Вынесем $5^x$ за скобки (так как $5^x > 0$ при любых $x$): $5^x(2^x - 8) \geq 0$. 3. Разделим на $5^x$: $2^x - 8 \geq 0 \implies 2^x \geq 2^3$. 4. Так как основание функции $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $x \geq 3$. **Ответ: $[3; +\infty)$.** ### Решение задачи 10 $\begin{cases} x - y = 8 \\ 2^{x-3y} = 16 \end{cases}$ 1. Второе уравнение: $2^{x-3y} = 2^4 \implies x - 3y = 4$. 2. Система: $\begin{cases} x - y = 8 \\ x - 3y = 4 \end{cases}$ 3. Вычтем из первого уравнения второе: $(x - y) - (x - 3y) = 8 - 4 \implies 2y = 4 \implies y = 2$. 4. Подставим в первое: $x - 2 = 8 \implies x = 10$. **Ответ: $x = 10, y = 2$.**