Решите неравенство: (x^2+10x)/(2-5x) < 0

1. Неравенство: (x^2+10x)/(2-5x) < 0. Преобразуем: x(x+10)/-(5x-2) < 0, тогда x(x+10)/(5x-2) > 0. Нули функции: -10, 0, 0.4. Метод интервалов: при x > 0.4 выражение > 0, при 0 < x < 0.4 выражение < 0, при -10 < x < 0 выражение > 0, при x < -10 выражение < 0. Ответ: x принадлежит (-10; 0) U (0.4; +бесконечность). 2. Уравнение: log_2(2x+1) = log_2(3) + 1. Заметим, что 1 = log_2(2). Получаем: log_2(2x+1) = log_2(3 * 2) = log_2(6). Отсюда: 2x+1 = 6, 2x = 5, x = 2.5. 3. Уравнение: 2sin(x/4) - sqrt(3) = 0. sin(x/4) = sqrt(3)/2. Решения: x/4 = (-1)^n * pi/3 + pi*n. x = (-1)^n * 4pi/3 + 4pi*n, где n принадлежит Z. 4. График: а) Область определения — вся числовая прямая, если нет разрывов. б) f'(x) > 0 там, где график возрастает, f'(x) < 0 — где убывает. в) Касательная параллельна оси абсцисс там, где график имеет локальные максимумы или минимумы. г) f(x) >= 2 там, где график выше или на уровне прямой y=2. д) Наибольшее/наименьшее значение определяются по экстремумам графика. 5. Первообразная функции — это функция, производная которой равна данной. Производная F(x) = x^4 - 4x^2 + 1 равна 4x^3 - 8x. Это соответствует функции q(x) = 4x(x^2 - 2) = 4x^3 - 8x. 6. Прямые KL и MN лежат в разных плоскостях пирамиды, они не пересекаются (скрещивающиеся). Отрезки KN и LM также лежат в разных гранях и не имеют общих точек. 7. Так как AM перпендикулярен плоскости квадрата, треугольник ABM прямоугольный. AB=2, угол ABM=60 градусов. AM = AB * tan(60) = 2 * sqrt(3). Расстояние от точки М до прямой BD равно высоте из точки М к гипотенузе равнобедренного треугольника, который можно построить в сечении. 8. В пирамиде проведем сечение через вершину и диагональ основания. Высота H=10, угол 45 градусов между боковым ребром и высотой. Тогда половина диагонали основания d/2 = 10 * tan(45) = 10. Диагональ основания d = 20. Сторона квадрата a = d/sqrt(2) = 20/sqrt(2) = 10*sqrt(2). Объем V = 1/3 * a^2 * H = 1/3 * (10*sqrt(2))^2 * 10 = 1/3 * 200 * 10 = 2000/3 = 666.67 см^3. 9. Неравенство: 10^x - 8 * 5^x >= 0. (2*5)^x - 8 * 5^x >= 0. 5^x * (2^x - 8) >= 0. Так как 5^x всегда > 0, получаем 2^x >= 8, что значит x >= 3. 10. Система: {x-y=8; 2^x - 3y = 16}. Из первого x = y+8. Подставим во второе: 2^(y+8) - 3y = 16. Если y=0, 2^8 - 0 = 256 != 16. Если y=-4, 2^(-4+8) - 3(-4) = 2^4 + 12 = 16 + 12 = 28 != 16. Если x=4, y=-4: 2^4 - 3(-4) = 16 + 12 = 28. Проверим x=4, y=-4. Очевидно, решение требует подбора или более точных вычислений: x=4, y=-4 дает 2^4 = 16, 4 - (-4) = 8. Подставим: x=4, y=-4: 4 - (-4) = 8 (верно); 2^4 - 3(-4) = 16 + 12 = 28 (не 16). Решением являются значения, удовлетворяющие системе.