17. Решите уравнение 2sin^2 x - 7sin x - 4 = 0

### 17. Решение уравнения $2\sin^2 x - 7\sin x - 4 = 0$ Пусть $\sin x = t$, где $|t| \leq 1$. Получим уравнение: $2t^2 - 7t - 4 = 0$ $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$ $t_1 = \frac{7+9}{4} = 4$ (не подходит, так как $|t| \leq 1$) $t_2 = \frac{7-9}{4} = -0.5$ Значит, $\sin x = -0.5$. Решения: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. ### 18. Решение неравенства $(\frac{1}{27})^{2-x} > 9^{2x-1}$ Приведем к основанию 3: $(3^{-3})^{2-x} > (3^2)^{2x-1}$ $3^{-6+3x} > 3^{4x-2}$ Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется: $-6 + 3x > 4x - 2$ $-4 > x$, или $x < -4$. ### 19. Решение уравнения $\log_5 x + \log_5 3 = \log_5 12$ Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$: $\log_5 (3x) = \log_5 12$ $3x = 12 \Rightarrow x = 4$. ### 20. Производная функции $f(x) = (5+3x)^3$ Используем правило дифференцирования сложной функции: $f'(x) = 3(5+3x)^2 \cdot (5+3x)' = 3(5+3x)^2 \cdot 3 = 9(5+3x)^2$. ### 21. Первообразная функции $f(x) = 2x + 4x^3 - 1$ в точке $M(-1, 5)$ Общий вид первообразной: $F(x) = \int (2x + 4x^3 - 1) dx = x^2 + x^4 - x + C$ Подставим координаты точки $M(-1, 5)$: $F(-1) = (-1)^2 + (-1)^4 - (-1) + C = 5$ $1 + 1 + 1 + C = 5 \Rightarrow 3 + C = 5 \Rightarrow C = 2$. Ответ: $F(x) = x^4 + x^2 - x + 2$. ### 22. Объем прямоугольного параллелепипеда Площади граней: $S_1 = ab = 56$, $S_2 = ac = 192$, общее ребро $a = 8$. $8b = 56 \Rightarrow b = 7$. $8c = 192 \Rightarrow c = 24$. $V = abc = 8 \cdot 7 \cdot 24 = 56 \cdot 24 = 1344 \text{ дм}^3$. ### 23. Объем конуса Образующая $l = 12$, угол $\alpha = 30^\circ$. Высота $h = l \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot 0.5 = 6$. Радиус основания $r = l \cdot \cos 30^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$. $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (6\sqrt{3})^2 \cdot 6 = \frac{1}{3}\pi \cdot 108 \cdot 6 = 216\pi \text{ см}^3$.