1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 70°, угол CAD равен 49°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

1. Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle CAD$ и $\angle CBD$ опираются на дугу $CD$, значит $\angle CBD = \angle CAD = 49^\circ$. Так как $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$, то $\angle ABD = 70^\circ - 49^\circ = 21^\circ$. **Ответ: 21°** 2. $\triangle ABC$ — равнобедренный, $\angle B = 123^\circ$. Углы при основании равны: $\angle A = \angle C = (180^\circ - 123^\circ) / 2 = 28,5^\circ$. Центральный угол $\angle BOC$ опирается на дугу $BC$, на которую также опирается вписанный угол $\angle BAC = 28,5^\circ$. Тогда $\angle BOC = 2 \cdot 28,5^\circ = 57^\circ$. **Ответ: 57°** 3. Так как центр окружности лежит на стороне $AB$, то $AB$ — диаметр. $R = 25$, значит $AB = 50$. Угол $\angle ACB$ вписан в полуокружность, поэтому $\angle ACB = 90^\circ$. По теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$ $AC^2 + 48^2 = 50^2$ $AC^2 = 2500 - 2304 = 196$ $AC = \sqrt{196} = 14$ **Ответ: 14** 4. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$. Значит, $\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$. **Ответ: 143°** 5. По теореме синусов: $\frac{AB}{\sin \angle C} = 2R$. Подставим значения: $\frac{26}{\sin 30^\circ} = 2R$ $\frac{26}{0,5} = 2R$ $52 = 2R$ $R = 26$ **Ответ: 26**