6. В среднем из 150 сдобных насосов, поступивших в продажу, 12 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Привет! Давай разберем твои задания по порядку: 6. Всего насосов 150, неисправных 12. Значит, исправных: $150 - 12 = 138$. Вероятность того, что выбранный насос исправен: $\frac{138}{150} = \frac{46}{50} = 0,92$. Ответ: 0,92 7. $2^{9-x} = 8$. Так как $8 = 2^3$, то $9-x = 3$. Отсюда $x = 6$. Ответ: 6 8. $\log_3(2x-7) = 3$. Это значит, что $2x-7 = 3^3$, то есть $2x-7 = 27$. $2x = 34$, $x = 17$. Ответ: 17 9. $\frac{(2^{-4})^2}{2^{-10}} = \frac{2^{-8}}{2^{-10}} = 2^{-8 - (-10)} = 2^2 = 4$. Ответ: 4 10. $f(x) = 7x^3 + 14x + 12$. Производная $f'(x) = 21x^2 + 14$. При $x=2$: $f'(2) = 21(2)^2 + 14 = 21 \cdot 4 + 14 = 84 + 14 = 98$. Ответ: 98 11. $\log_6 432 - \log_6 12 = \log_6 (432 / 12) = \log_6 36 = 2$, так как $6^2 = 36$. Ответ: 2 12. $S = \frac{abc}{4R} = \frac{11 \cdot 13 \cdot 20}{4 \cdot (65/6)} = \frac{2860}{260/6} = \frac{2860 \cdot 6}{260} = 11 \cdot 6 = 66$. Ответ: 66 13. $y = 2x^3 + 3x^2 - 36x$. $y' = 6x^2 + 6x - 36$. Приравняем к 0: $x^2 + x - 6 = 0$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -3$. Оба входят в $[-4; 3]$. $y(-4) = 2(-64) + 3(16) - 36(-4) = -128 + 48 + 144 = 64$. $y(-3) = 2(-27) + 3(9) - 36(-3) = -54 + 27 + 108 = 81$. $y(2) = 2(8) + 3(4) - 36(2) = 16 + 12 - 72 = -44$. $y(3) = 2(27) + 3(9) - 36(3) = 54 + 27 - 108 = -27$. Наименьшее значение: -44. Ответ: -44 14. $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, значит $\cos^2 \alpha = 1 - 3/4 = 1/4$. $\cos \alpha = \pm 1/2$. В интервале $(180^\circ; 270^\circ)$ (III четверть) косинус отрицателен: $-1/2$. Ответ: -0,5 15. А) $\frac{(x-2)^8}{x-5} < 0$. Числитель положителен при $x \neq 2$, знаменатель при $x < 5$. Учитывая $x \neq 2$ и $x < 5$, ответ: $(-\infty; 2) \cup (2; 5)$. Это 4. Б) $2^{-x} < 0,25$. $2^{-x} < 2^{-2}$, значит $-x < -2$, $x > 2$. Интервал $(2;+\infty)$. Это 3. В) $\log_5 x > 1$. $x > 5^1$, значит $x > 5$. Интервал $(5;+\infty)$. Это 1. Г) $(x-5)(x-2) < 0$. Корни 2 и 5, парабола ветвями вверх, отрицательна между корнями: $(2;5)$. Это 2. Ответ: А-4, Б-3, В-1, Г-2. 16. Производная отрицательна там, где график функции убывает. На графике убывающие участки: в точках $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ график идет вниз. Остальные точки на возрастании. Всего 5 точек. Ответ: 5 17. Фигура ограничена $y=x^2-4$ и $y=0$. Пересечения: $x^2-4=0$, $x=\pm 2$. Площадь: $\int_{-2}^2 (0 - (x^2-4)) dx = \int_{-2}^2 (4-x^2) dx = [4x - x^3/3]_{-2}^2 = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 16 - 16/3 = 32/3 \approx 10,67$. Ответ: 32/3 18. $2x-4 = \sqrt{13-3x}$. Возведем в квадрат: $4x^2 - 16x + 16 = 13 - 3x$. $4x^2 - 13x + 3 = 0$. Дискриминант $169 - 48 = 121$. $x = (13 \pm 11)/8$. $x_1 = 3$, $x_2 = 0,25$. Проверка: при $x=3$ левая часть $6-4=2$, правая $\sqrt{13-9} = 2$. Верно. При $x=0,25$ левая часть $0,5-4=-3,5$, правая $\sqrt{...}$ (положительный корень). Не подходит. Ответ: 3 19. Площадь грани (S) = $a \cdot b = 12$. Ребро, перпендикулярное этой грани, — это высота (h = 4). Объем $V = S \cdot h = 12 \cdot 4 = 48$. Ответ: 48 20. Образующая $l = 4$, угол наклона к основанию $30^\circ$. Высота $H = l \cdot \sin(30^\circ) = 4 \cdot 0,5 = 2$. Радиус основания $r = l \cdot \cos(30^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$. Объем $V = \frac{1}{3} \pi r^2 H = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{3})^2 \cdot 2 = \frac{1}{3} \pi \cdot 12 \cdot 2 = 8\pi$. Ответ: 8\pi