Решить неравенство (249-251). 1) log3 (x + 2) < 3;

Для решения логарифмических неравенств важно помнить: если основание логарифма больше 1, знак неравенства сохраняется, если основание от 0 до 1 — меняется на противоположный. Также всегда учитываем область допустимых значений (ОДЗ): выражение под логарифмом должно быть больше нуля. ### Решение: 1) $\log_3(x+2) < 3$ ОДЗ: $x+2 > 0 \Rightarrow x > -2$. $x+2 < 3^3 \Rightarrow x+2 < 27 \Rightarrow x < 25$. С учетом ОДЗ: $x \in (-2; 25)$. 2) $\log_8(4-2x) \geqslant 2$ ОДЗ: $4-2x > 0 \Rightarrow 2x < 4 \Rightarrow x < 2$. $4-2x \geqslant 8^2 \Rightarrow 4-2x \geqslant 64 \Rightarrow -2x \geqslant 60 \Rightarrow x \leqslant -30$. С учетом ОДЗ: $x \in (-\infty; -30]$. 3) $\log_3(x+1) < -2$ ОДЗ: $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$. $x+1 < 3^{-2} \Rightarrow x+1 < \frac{1}{9} \Rightarrow x < \frac{1}{9} - 1 \Rightarrow x < -\frac{8}{9}$. С учетом ОДЗ: $x \in (-1; -\frac{8}{9})$. 4) $\log_{\frac{1}{3}}(x-1) \geqslant -2$ ОДЗ: $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$. Основание $\frac{1}{3} < 1$, знак меняем: $x-1 \leqslant (\frac{1}{3})^{-2} \Rightarrow x-1 \leqslant 9 \Rightarrow x \leqslant 10$. С учетом ОДЗ: $x \in (1; 10]$. 5) $\log_{\frac{1}{5}}(4-3x) \geqslant -1$ ОДЗ: $4-3x > 0 \Rightarrow 3x < 4 \Rightarrow x < \frac{4}{3}$. Основание $\frac{1}{5} < 1$, знак меняем: $4-3x \leqslant (\frac{1}{5})^{-1} \Rightarrow 4-3x \leqslant 5 \Rightarrow -3x \leqslant 1 \Rightarrow x \geqslant -\frac{1}{3}$. С учетом ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{3}; \frac{4}{3})$. 6) $\log_{\frac{2}{3}}(2-5x) < -2$ ОДЗ: $2-5x > 0 \Rightarrow 5x < 2 \Rightarrow x < \frac{2}{5}$. Основание $\frac{2}{3} < 1$, знак меняем: $2-5x > (\frac{2}{3})^{-2} \Rightarrow 2-5x > \frac{9}{4} \Rightarrow -5x > \frac{9}{4} - 2 \Rightarrow -5x > \frac{1}{4} \Rightarrow x < -\frac{1}{20}$. С учетом ОДЗ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{20})$.