Решите уравнение: $\sqrt{2} \sin(2x - \frac{\pi}{4}) + 1 = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$.

Решим уравнение: $\sqrt{2} \sin(2x - \frac{\pi}{4}) + 1 = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$. 1. Используем формулы синуса разности и суммы: $\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \sin 2x \cos \frac{\pi}{4} - \cos 2x \sin \frac{\pi}{4} = \sin 2x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos 2x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin 2x - \cos 2x)$ $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos x)$ 2. Подставим в исходное уравнение: $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin 2x - \cos 2x) + 1 = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos x)$ $(\sin 2x - \cos 2x) + 1 = \sin x + \cos x$ 3. Перенесем все в левую часть: $\sin 2x - \cos 2x - \sin x - \cos x + 1 = 0$ Используем формулу $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$: $2 \sin x \cos x + 2 \sin^2 x - \sin x - \cos x = 0$ 4. Сгруппируем слагаемые: $\sin x (2 \cos x - 1) + \cos x (2 \sin x - 1) = 0$ — это не приводит к очевидному упрощению. Попробуем иначе: $(2 \sin x \cos x - \cos x) + (2 \sin^2 x - \sin x) = 0$ $\cos x (2 \sin x - 1) + \sin x (2 \sin x - 1) = 0$ $(2 \sin x - 1)(\sin x + \cos x) = 0$ 5. Решим два уравнения: а) $2 \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$ $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $\sin x + \cos x = 0 \implies \sin x = -\cos x$ Так как $\cos x \neq 0$, разделим на $\cos x$: $\text{tg } x = -1$ $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k; x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.